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Exercícios Resolvidos de Base

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, 2020.1, P1, Q5

Considere a base B = {   1 ,   x - 1 ,   x - 1 2 ,   x - 1 3 } de P 3 ( R ) e seja p = x 3 + x 2 - 4 x - 2 ∈ P 3 ( R ) . Se a , b ,   c ,   d ∈ R são tais que p = a , b , c , d B , então a + b + c + d vale

Escolha uma opção:

  1. - 7
  2. - 2
  3. 2
  4. - 7
  5. - 5
  6. - 10
  7. 10
  8. 5

Passo 1

Faala, pessoal! A forma em coordenadas p = a , b , c , d B que o cara lá de cima deu pro nosso polinômio p , nada mais é que uma representação dos coeficientes que acompanhariam o elemento da base B para formar o polinômio. Espia:

p = a , b , c , d B

= a ⋅ 1 + b x - 1 + c x - 1 2 + d x - 1 3 = a + b x - 1 + c x 2 - 2 x + 1 + d ( x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1 )

= d x 3 + c - 3 d x 2 + b - 2 c + 3 d x + ( a - b + c - d )

Passo 2

Comparando com a expressão que temos para p :

d x 3 + c - 3 d x 2 + b - 2 c + 3 d x + ( a - b + c - d ) = x 3 + x 2 - 4 x - 2

Pela identidade polinomial, os coeficientes têm de ser iguais, logo:

d = 1 c - 3 d = 1 b - 2 c + 3 d = - 4 a - b + c - d = - 2 ⇒ d = 1 c = 4 b - 2 c = - 7 a - b + c = - 1 ⇒

⇒ d = 1 c = 4 b = 1 a - b = - 5 ⇒ d = 1 c = 4 b = 1 a = - 4

Donde, temos que:

a + b + c + d = - 4 + 1 + 4 + 1 = 2

Resposta

c. 2

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Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .