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Exercícios Resolvidos de Base

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Enunciado

USP, 2018.2, P1, Q15

Considere as seguintes afirmações sobre um espaço vetorial E com produto interno , :

I   S e   S 1   e   S 2   s ã o   s u b e s p a ç o s   d e   E   t a i s   q u e   S 1 ⊂ S 2 ,   e n t ã o   S 1 ⊥ ⊂ S 2 ⊥

I I   S e   u 1 , u 2 , u 3   é   u m a   b a s e   d o   s u b e s p a ç o   S   d e   E ,   e n t ã o

p r o j S v = p r o j [ u 1 ] v + p r o j [ u 2 ] v + p r o j [ u 3 ] v ,

Qualquer que seja v   ∈ E

I I I   S e   E = u 1 ,   … ,   u n   e   v ∈ E   é   t a l   q u e   v , u j = 0 ,   p a r a   t o d o   j = 1 , … , n   e n t ã o   v = 0 V

Está correto o que se afirma em

a   I   e   I I I ,   a p e n a s

b   I I I ,   a p e n a s .

c   I ,   I I   e   I I I .

d I I ,   a p e n a s

e   I   e   I I ,   a p e n a s

Passo 1

Falaaa, blz??? Bom, bora começar essa questão olhando a primeira afirmação:

Vamos tomar S 1 = 0   e   S 2 = E , veja que S 1 ⊂ S 2

Além disso, S 1 ⊥ = E   e   S 2 ⊥ = 0 , mas obviamente não temos S 1 ⊥ ⊂ S 2 ⊥

Passo 2

Essa segunda afirmação é bem comum de se ver, pois ela é uma das coisas faladas quando temos uma base ortogonal, geralmente vemos isso quando estudamos o processo de Gram-Schmidt. Qualquer subespaço que você pegue uma base não ortogonal dará errado.

Passo 3

Bora para última afirmação agora.

Bora tomar v   ∈ E , como E = u 1 ,   … ,   u n   → B = { u 1 ,   … ,   u n } temos que:

v = a 1 u 1 + a 2 u 2 + … + a n u n

Mas o enunciado nos diz que v = 0 v     ( q u e r e m o s ) , agora podemos lembrar que para v = 0 V deve ocorrer v , v = 0 , vamos fazer isso e ver se de fato ocorre.

v , v = v , a 1 u 1 + a 2 u 2 + … + a n u n

Além disso, vamos usar que:

a , α b + β c = α a , b + β a , c

Logo

v , v = v , a 1 u 1 + a 2 u 2 + … + a n u n =   a 1 v , u 1 + a 2 v , u 2 + … + a n v , u n

Mas pelo enunciado temos que v , u 1 = v , u 2 = … = v , u n = 0

Logo v , v = 0   e   p o r t a n t o   v = 0

Resposta

Letra B

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Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .