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Exercícios Resolvidos de Base

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Enunciado

USP, 2019, PSUB, 13

Se B = u → , v → , w → é uma base de V 3 , sabemos que

τ = 1 2 u → + v → , 1 2 v → + w → , 1 2 w → + u →

Também é base de V 3 . Dado x →   ∈   V 3 , se x → = a , b , c B , então as coordenadas de x → em relação à base τ são

a )   ( a - b , b - c , c - a )

b )   ( a + 2 b - c , - a + 2 b + c , a - 2 b + c )

c )   ( a + b - c , - a + b + c , a - b + c )

d )   ( 2 a + b - c , - a + 2 b + c , a - b + 2 c )

e )   a + b , b + c , c + a

Passo 1

Falaaaa, blz?? Bora lá para mais uma questãozinha. Primeiro, vamos relembrar o que significa exprimir um vetor numa certa base, usando o do problema mesmo.

Se temos uma base B = u → , v → , w → e x → = a , b , c B , isso quer dizer que:

x → = a u → + b v → + c w →

Dito isso, o que queremos saber da questão é:

Quais são os α , β , γ ∈ R tais que:

α , β , γ τ = a , b , c B = a u → + b v → + c w → = x →

Passo 2

Bora lá fazer isso? Bom, aplicando o que foi dito, podemos escrever a seguinte igualdade

α , β , γ τ =   α 1 2 u → + v → + β 1 2 v → + w → + γ 1 2 w → + u →

u →   α 2 + γ 2 + v → α 2 + β 2 + w → β 2 + γ 2 = u →   α + γ 2 + v → α + β 2 + w → β + γ 2  

Agora, queremos que α , β , γ τ = a u → + b v → + c w →

u →   α + γ 2 + v → α + β 2 + w → β + γ 2 = a u → + b v → + c w →

Passo 3

Então bora lá, igualar os coeficientes de dentro dos parênteses e ver o que acontece:

α + γ 2 = a α + β 2 = b β + γ 2 = c

Bora tirar essas frações? Multiplicando todo mundo por 2:

α + γ = 2 a α + β = 2 b β + γ = 2 c

Agora, vamos subtrair as duas primeira para sumir com α :

γ - β = 2 a - b

Agora, veja que temos:

γ - β = 2 ( a - b ) β + γ = 2 c

Bora somar as duas e sumir com o β :

2 γ = 2 a - b + c   → γ = a - b + c

E vamos voltar os passos para descobrir os outros valores, primeiro vamos colocar em β + γ = 2 c

β + a - b + c = 2 c → β = c - a + b

E agora basta voltar em α + γ = 2 a

α = 2 a - γ = 2 a - a + b - c = a + b - c

Ou seja, temos α , β , γ τ = ( a + b - c , c - a + b , a - b + c )

E assim chegamos no final de mais um probleminha, bora para o próximo?

Resposta

Letra C

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Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .