USP – Álgebra Linear – P1 2020 – Questão 16
Sejam e bases de tais que é ortonormal e
Se e , então é igual a
Passo 1
E aí pessoal, beleza? Vamos lá fechar as questões dessa provinha hehehe
Temos duas bases no espaço :
Sendo que é uma base ortonormal, ou seja: os vetores dela têm tamanho 1 e são ortogonais entre si
E aí temos os vetores e , e queremos encontrar
Só lembrando, a fórmula de projeção ortogonal é dada por
MAS, como está escrito na base , vamos ter que escrever na base também. Aí depois aplicamos nessa formulazinha aí em cima, sacou?
Então vamos começar mudando a base de para no vetor
Passo 2
O vetor escrito na base vai ser
Onde é a matriz de mudança de base de para
Ta, mas... como encontramos essa matriz?....
Caalma que o exercício não ia deixar a gente sem rumo hahaha vamos lembrar dessa informação que ele deu:
Ou seja, já temos uma forma de escrever os vetores de na base . Colocando isso em forma matricial (inserindo os coeficientes nas colunas de uma matriz), chegamos na matriz de mudança de base de para :
Mas não é ela que queremos! Queremos o contrário,
Então é só inverter :P
Passo 3
Vamos lá inverter a matriz:
Para isso, vamos colocar uma matriz identidade à direita dela e escalonar as duas, até que a matriz da esquerda vire a matriz identidade
Então vamos lá:
E por fim:
Portanto, a matriz inversa é
Passo 4
Agora podemos aplicar:
Então vamos encontrar o vetor escrito na base 😊
Multiplicando as matrizes
Uhuu, então já temos o vetor que precisávamos para calcular a projeção:
Passo 5
Agora vamos substituir o que temos na fórmula:
Então:
Showww! Como queremos o módulo desse vetor, fazemos:
Uff, essa foi longa hahaha