USP, 2019, PSUB, 16
Seja um espaço vetorial de dimensão e seja um subconjunto de V contendo vetores distintos. Considere as seguintes afirmações:
Se então, necessariamente,
Se é linearmente independente e , então B é base de V
Se é base de um subespaço vetorial e então B é linearmente independente.
Está correto apenas o que se afirma em
Passo 1
Falaaa, blz? Bora para o último problema dessa prova. Vamos analisar as alternativas de forma separada.
Se então, necessariamente,
Bom, essa afirmação é falsa, ela tenta induzir a gente naquela ideia de que se , ou seja, V é gerado pelos vetores de B, então B é uma base de V, porém isso não necessariamente é verdade. Bora ver um exemplo disso
Aqui, conseguimos ver que B gera V, uma vez que qualquer vetor de pode ser escrito como combinação de caras de B , porém , logo a afirmação é falsa.
A afirmação é uma pegadinha, mas a gente conseguiu sair dela
Passo 2
Agora vamos para a outra afirmação:
Se é linearmente independente e , então B é base de V
Essa afirmação é verdadeira, é basicamente a definição de base.
Pois para B ser base, todos vetores de B devem ser linearmente independentes e B deve gerar V. Mas para um conjunto de vetores L.I gerar um espaço, a dimensão do espaço deve ser igual a quantidade de vetores L.I, ou seja, . Logo a afirmação é verdadeira
Passo 3
E bora para a última afirmação...
Se é base de um subespaço vetorial e então B é linearmente independente.
Bom, essa afirmação é verdadeira, bora entender o motivo
Quando ela nos diz que é base de W, podemos afirmar que é L.I
E quando a afirmação nos diz que isso quer dizer que não pode ser escrito como combinação linear de , pois como é base de W, todo vetor de W é escrito como combinação linear desse conjuntinho.
Agora, esse conceito lembra algo? Um vetor não conseguir ser escrito como combinação de outros, quer dizer que esse cara é L.I com os outros... Então podemos falar que é L.I
Resposta
Letra E