Seja H o subespaço definido por:

H =   2 , - 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 2 ,   1 ,   - 4 ,   1 ,   4 ,   0 ,   2 ,   - 4

Qual dos conjuntos abaixo é base de H ?

( a ) 2 , - 1 ,   - 1

( b ) 2 , - 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 2 ,   1 ,   - 4 ,   1 ,   4 ,   0 ,   2 ,   - 4

( c ) 2 , - 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 2 ,   1

( d ) 2 , - 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 2 ,   1 ,   - 4 ,   1 ,   4

Passo 1

O subespaço H é formado por vetores do R 3 .

Como H é um subconjunto do R 3 , então sua base deve ter no máximo 3 vetores.

Já descartamos a letra ( b ) !

Repare que o conjunto da letra ( c ) já é L I , pois seus dois vetores não são múltiplos um do outro.

E já que é L I , é uma base! Como tem 2 vetores, é a base de um espaço de dimensão 2 .

Pensa o seguinte: eu achei um conjunto de dimensão 2 que tá contido em H , então esse H tem que ter dimensão no mínimo igual a 2 . Não é?

Assim eu descarto a letra ( a ) , que tem dimensão 1 .

Passo 2

Agora é o seguinte:

  • Se o conjunto da letra ( d ) for L I , ele já é uma base, e a resposta é ( d )
  • Se o conjunto da letra ( d ) for L D , ele não é uma base ainda, então a resposta é ( c ) , pois já sabemos que ( c ) é L I

Vamos tentar achar uma combinação linear entre os vetores de ( d ) .

2 , - 1 ,   - 1 = a 2 , - 2 ,   1 + b ( - 4 ,   1 ,   4 )

2 ,   - 1 ,   - 1 = 2 a - 4 b ,   - 2 a + b ,   a + 4 b

2 a - 4 b = 2 - 2 a + b = - 1 a + 4 b = - 1  

Temos que resolver o sistema! Escalonando a amtriz aumentada:

2 - 4 2 - 2 1 - 1 1 4 - 1 ~ 1 4 - 1 - 2 1 - 1 2 - 4 2 ~ 1 4 - 1 0 9 - 3 0 12 - 4 ~ 1 4 - 1 0 1 - 1 3 0 12 - 4 ~ 1 4 - 1 0 1 - 1 3 0 0 0 ~ 1 4 - 1 0 1 - 1 3

(Obs.: fiz isso tudo pra você enxergar melhor, mas repara que essa primeira matriz que eu usei para escalonar é exatamente a matriz com os vetores da letra (d) postos em colunas. Você pode fazer isso direto.)

Fazendo a “substituição para trás”:

b = - 1 3

a + 4 b = - 1 → a - 4 3 = - 1 → a = 1 3

Ou seja, a e b EXISTEM!

:O

ENTÃO EXISTE A COMBINAÇÃO LINEAR QUE SUPUSEMOS.

Isso significa que o conjunto da letra ( d ) é L D . A resposta então só pode ser letra ( c ) .

Resposta

Letra ( c )

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