PUCRIO, G2-2019.2
Considere os vetores de
(escritos na base canônica) e a transformação linear
- Determine a matriz de na base canônica.
- Determine uma base da imagem de .
- Considere o plano vetorial
Determine uma base do subespaço , a imagem do plano pela transformação linear .
Passo 1
Show de bolinhas galera, na letra (a), queremos encontrar a matriz na base canônica, isto é, a base canônica é então queremos:
Porque encontrando essas transformações podemos juntar tudo para encontrarmos , desse jeito:
Belezera, sabendo disso podemos calcular esses termos.
Passo 2
A transformação é dada por:
Onde:
Então para o vetor , temos:
Logo:
Para o vetor :
E para :
Portanto, nossa matriz é:
Passo 3
Na letra (b), a imagem de uma matriz sempre é gerada pelas suas colunas linearmente independentes, então escalonando nossa matriz, temos que:
Logo, a primeira e a última linha são múltiplas uma da outra, isso quer dizer que podemos retirar uma dessa linhas, e em consequência disso, se temos apenas duas linhas L.I, vamos ter também duas colunas L.I. Vamos pegar a primeira e a segunda coluna:
Logo, a imagem é gerada por esses dois vetores. E fazendo o produto vetorial entre eles conseguimos descobrir a equação do plano que esses vetores geram, saca só:
Logo, esse vetor resultando vai ser os coeficientes do nosso plano, desse jeito:
E dividindo tudo por :
Esse é o nosso plano que é a Imagem.
Passo 4
E na nossa letra (c), precisamos encontrar uma base para a Imagem de dado que é o plano vetorial:
Então primeiro vamos encontrar a base de . Pra fazer isso, bora colocar os termos em evidência:
Portanto:
E separando as variáveis, temos:
Portanto uma base para o plano é:
Passo 5
Então agora podemos de fato realizar a operação , vamos realizar a operação pra cada vetor da base, desse jeito:
E é ai que ta a malícia, porque esses dois vetores resultantes são paralelos, podemos reescrever em função de um parâmetro :
Portanto os dois vetores resultantes de pertencem a reta gerada por , logo essa reta é a Imagem, e uma base para essa imagem é: