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Exercícios Resolvidos de Base

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Enunciado

Seja E = ( e 1 → ,   e 2 → ,   e 3 → ) uma base e considere os vetores

f 1 → = e 1 → + e 2 → + e 3 →

f 2 → = - e 2 → + 2 e 3 →

f 3 → = - e 3 →

a) Verifique que F = ( f 1 → ,   f 2 → ,   f 3 → ) é base.

b) Calcule a e b de modo que, para os vetores u → = 1 ,   - 1 ,   4 E e v → = 1 ,   a ,   b F , a sequência ( u → ,   v → ) seja L.D.

Passo 1

a) Temos o seguinte:

f 1 → = e 1 → + e 2 → + e 3 → = 1 ,   1 ,   1 E

f 2 → = - e 2 → + 2 e 3 → = 0 ,   - 1 ,   2 E

f 3 → = - e 3 → = 0 ,   0 ,   - 1 E

Colocando f 1 → , f 2 → e f 3 → em uma matriz, temos:

1 1 1 0 - 1 2 0 0 - 1

Queremos que eles formem uma base, para isso, esses 3 vetores devem ser L.I., certo?

Ou seja, o determinante da matriz formada por eles deve dar diferente de 0 hehe

Passo 2

Vamos então calcular o determinante da matriz:

d e t   1 1 1 0 - 1 2 0 0 - 1 = 1

Opa, nosso determinante deu 1!! Que é diferente de 0!! Logo, os vetores f 1 → , f 2 → e f 3 → são L.I. e portanto formam uma base :)

Passo 3

b) Antes de tudo, vamos converter o vetor v → da base F para a base E :

v → = 1 ,   a ,   b F = 1 f 1 → + a f 2 → + b f 3 →

v → = 1 e 1 → + e 2 → + e 3 → + a - e 2 → + 2 e 3 → + b ( - e 3 → )

Colocando e 1 → , e 2 → e e 3 → em evidência:

v → = e 1 → + e 2 → 1 - a + e 3 → ( 1 + 2 a - b )

Então, v → pode ser escrito assim (pelos coeficientes encontrados aí em cima)

v → = 1 ,   1 - a ,   1 + 2 a - b E

Passo 4

Agora vamos ver, queremos que u → e v → sejam L.D, ou seja, deve existir algum α ≠ 0 tal que

v → = α u →

1 ,   1 - a ,   1 + 2 a - b E = α 1 ,   - 1 ,   4 E

Isso dá pra gente o sistema:

1 = α . 1 1 - a = - α 1 + 2 a - b = 4 α

Da primeira linha, temos α = 1 .

Substituindo na segunda linha, ficamos com 1 - a = - 1 → a = 2

Substituindo na terceira linha, temos 1 + 4 - b = 4 → b = 1

Resposta

a) Demonstração.

b) a = 2 e b = 1 .

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