UFES, Álgebra Linear, P2 Tarde, 2017.2 - Questão 4
Encontre a matriz de mudança de base da base para a base canônica , e a matriz mudança de base da base canônica para a base
Passo 1
E aí pessoal, belezinha?
Nesse exercício, vamos encontrar a matriz de mudança de base de para a base canônica e depois da base canônica para
Para fazermos isso, vamos seguir esses passos olha:
1 – Escrever os elementos da base antiga na nova base
2 – Colocar esses elementos nas colunas de uma matriz
E pronto! Hahahaha é mais simples do que parece, vamos lá
Passo 2
Temos a base e queremos encontrar a matriz de mudança de base para a base canônica
Vamos começar escrevendo os elementos de na base canônica:
(repara que como estamos indo para a base canônica, que é a base padrão desse espaço, os elementos escritos nessa base são eles mesmos heheehe)
Então, colocando isso nas colunas de uma matriz, temos a matriz de mudança de base de para :
Fechou?
Passo 3
Agora queremos encontrar a matriz de mudança de base de para
Como já temos a matriz de mudança de base de para , basta invertemos essa matriz hehehe
Então:
Para invertermos a matriz, vamos expandir uma matriz identidade ao lado dela. Aí vamos escalonar as duas até que a nossa matriz vire a matriz identidade, beleza?
Aí a matriz inversa vai ser a matriz identidade depois de ser escalonada. Vamos lá!
E por fim:
Showww, então a matriz da esquerda virou a nossa matriz identidade e a da direita virou a inversa. Portanto:
Arrasamos!