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Enunciado

USP, 2018.1, P2, Q16

Considere as seguintes afirmações:

I   S e   B = u 1 → , u 2 → , u 3 → é base de V 3 e x → =   α 1 u 1 → + α 2 u 2 → + α 3 u 3 →   ∈ V 3 , então α 1 = x → , u 2 → , u 3 → u 1 → , u 2 → , u 3 →  

I I   S e   u → ,   v →   ,   w → ∈ V 3 ,   e n t ã o   u → ∧ v →   ∙ w → = u → ∙ v → ∧ w → ;

I I I   S e   u → , v → , w →   ∈ V 3 ,   e n t ã o   u → ∧ v → ∧ w → = u → ∧ ( v → ∧ w → )

Passo 1

Falaaa, tranquilo?? Vamos começar pela afirmação (I):

x → =   α 1 u 1 → + α 2 u 2 → + α 3 u 3 → ,     e n t ã o :

x → ∧ u 2 → =   α 1 u 1 → ∧ u 2 → + α 2 u 2 → ∧ u 2 → + α 3 u 3 → ∧ u 2 →

Temos que   α 2 u 2 → ∧ u 2 → = 0 , logo:

x → ∧ u 2 → =   α 1 u 1 → ∧ u 2 → + α 3 u 3 → ∧ u 2 →   ,                   e n t ã o :

x → ∧ u 2 → ∙ u 3 → =   α 1 u 1 → ∧ u 2 → ∙ u 3 → + α 3 u 3 → ∧ u 2 → ∙ u 3 →

Vamos usar que u 3 → ∧ u 2 → ⊥   u 3 → ,     l o g o     α 3 u 3 → ∧ u 2 → ∙ u 3 → = 0

x → ∧ u 2 → ∙ u 3 → =   α 1 u 1 → ∧ u 2 → ∙ u 3 →

α 1 = x → ∧ u 2 → ∙ u 3 → u 1 → ∧ u 2 → ∙ u 3 → = x → , u 2 → , u 3 → u 1 → , u 2 → , u 3 →  

Afirmação I está correta.

Passo 2

I I   S e   u → ,   v →   ,   w → ∈ V 3 ,   e n t ã o   u → ∧ v →   ∙ w → = u → ∙ v → ∧ w → ;  

Agora vamos usar a seguinte propriedade de produto misto:

b ∧ c ∙ a = c ∧ a ∙ b = ( a ∧ b ) ∙ c

Logo

u → ∧ v →   ∙ w → = v → ∧ w →   ∙ u → = u →   ∙ v → ∧ w →

Então a afirmação (II) é verdadeira.

Passo 3

I I I   S e   u → , v → , w →   ∈ V 3 ,   e n t ã o   u → ∧ v → ∧ w → = u → ∧ ( v → ∧ w → )

Essa afirmação de cara parece falsa, para mostrar que está errada vamos tomar vetores u → , v → , w → ∈ V 3 e testar. Pois se vale para quaisquer vetores u → , v → , w → ∈ V 3 vale testarmos vetores específicos e ver se dará certo. Os vetores mais triviais de pegar são os canônicos e 1 → , e 2 → , e 3 → .

Se testarmos ( u → , v → , w → ) = e 1 → , e 2 → , e 3 → dará certo, mas cuidado, vamos tomar ( u → , v → , w → ) = e 1 → , e 2 → , e 2 → , pois afirmo novamente, a questão quer que julguemos se a afirmação é válida para quaisquer u → , v → , w → ∈ V 3 , então basta achar um contraexemplo que a afirmação estará errada

Queremos mostrar que:

e 1 → ∧ e 2 → ∧ e 2 → ≠ e 1 → ∧ ( e 2   → ∧ e 2 → )

e 1 → ∧ e 2 → ∧ e 2 → = e 3 → ∧ e 2 → =   - e 1 →

e

e 1 → ∧ e 2   → ∧ e 2 → = e 1 →   ∧   0 → = 0 →

Ou seja, a afirmação está errada.

Resposta

Letra A

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