Seja H o subespaço definido por:

H =   < 2 , - 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 2 ,   1 ,   - 4 ,   1 ,   4 ,   0 ,   2 ,   - 4 >

Qual dos conjuntos abaixo é base de H ?

a   { 2 , - 1 ,   - 1 }

b   { 2 , - 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 2 ,   1 ,   - 4 ,   1 ,   4 ,   0 ,   2 ,   - 4 }

c   { 2 , - 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 2 ,   1 }

d   2 , - 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 2 ,   1 ,   - 4 ,   1 ,   4

Passo 1

O subespaço H é formado por vetores do R 3 .

Como H é um subconjunto do R 3 então tem dimensão 3, então sua base deve ter no máximo 3 vetores.

Já descartamos a letra ( b ) !

Passo 2

Repare que os dois primeiros vetores de H , ( 2 , - 1 , - 1 ) e ( 2 , - 2,1 ) são L I , já que não são múltiplos um do outro (lembra que para vetores LI, Linearmente Independentes, não podem ser escritos como combinação linear um do outro). Então concluímos que a letra (c) é um conjunto L I (guarda essa informação!).

Então veja bem, os dois vetores ( 2 , - 1 , - 1 ) e ( 2 , - 2,1 ) formam um subespaço de H de dimensão 2 , então o nosso espaço vetorial H tem que ter dimensão no mínimo 2 , certo?

Assim eu descarto a letra ( a ) , que tem apenas um vetor na base (dimensão 1 ).

Passo 3

Agora é o seguinte, sabemos que para um conjunto de vetores ser uma base esse conjunto precisa ser L I , então concluímos que:

  • Se o conjunto da letra ( d ) for L I , ele já é uma base, e a resposta é ( d )
  • Se o conjunto da letra ( d ) for L D , ele não é uma base, então a resposta é ( c ) , pois já sabemos que ( c ) é L I

Para descobrirmos se os vetores de ( d ) são L I , basta jogarmos eles numa matriz e escalonarmos:

2 - 1 - 1 2 - 2 1 - 4 1 4 → L 2 ← L 2 - L 1 L 3 ← L 3 + 2 L 1 2 - 1 - 1 0 - 1 2 0 - 1 2 → L 3 ← L 3 - L 2 2 - 1 - 1 0 - 1 2 0 0 0

Opa! Acabamos de descobrir que os vetores de ( d ) são L D (Linearmente Dependentes)! Então, a resposta só pode ser a letra ( c ) !

Resposta

Letra ( c )

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