Seja   T :   M 2 × 2   R → P 2 R a transformação linear dada por T a b c d = a + b + c x + c + 2 d x 2 , α = 1 0 1 0 , 1 0 0 1 , 1 1 0 0 , 0 0 1 0   e β = { x ,   1 - x 2 , 2 } base de P 2 ( R ) .

a)Mostre que α é base de M 2 × 2   R .

Passo 1

Bom, para ser base é preciso ter 4 elementos formando um conjunto linearmente independente. Lembrando que são 4 elementos pois a dimensão de M 2 × 2   é 4.

Assim, como tem 4 elementos falta só verificar se o conjunto é LI, fazendo uma combinação linear e igualando a zero (matriz nula):

a 1 0 1 0 + b 1 0 0 1 + c 1 1 0 0 + d 0 0 1 0 = 0 0 0 0

Se todos os coeficientes forem iguais a 0, esse conjunto é LI.

Vamos separar a equação de cada elemento:

a + b + c = 0 c = 0 a + d = 0 b = 0

Substituindo os valores de b e c nas outras equações achamos que a = 0   e d = 0 , logo, nosso conjunto é LI!! Então α é base de M 2 × 2   R .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .