Prova Algebra Linear I – p1 – usp – sem campus – 2016 – questão 1
Seja uma base de , um número real e sejam e os vetores definidos por:
Considere as seguintes informações:
- e são ortogonais;
- O conjunto não é uma base de
- Se não é ortogonal nem a nem a , então o conjunto
É linearmente dependente se, e somente se,
Assinale a alternativa correta:
- Apenas as informações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;
- Nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira;
- Todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
- Apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;
- Apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras.
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquilebas? Espero que sim! Bora lá, Responder Aí essa questão.
Vamos começar verificando se as informações são verdadeiras ou não.
Antes, vamos relembrar algumas coisas que podem nos ajudar:
- se o produto interno convencional de dois vetores é nulo, então eles são ortogonais
- se então o conjunto de três vetores contendo e tem dimensão 2.
- Para ser uma base, precisamos ter dimensão 3 de vetores linearmente independentes.
Bora pro próximo passo?!
Passo 2
Obrigado por vir.
Agora para a informação 1:
e são ortogonais.
Tomando o produto interno convencional (atente-se aqui)
E assim provamos que é ortogonal. Outra forma é sabermos que o produto interno pode ser dado por:
Sendo o ângulo entre eles, se essa multiplicação é nula, então ou ou seja são ortogonais.
Passo 3
Agora para a informação 2:
O conjunto não é uma base de
Antes, vamos achar isto é, a projeção de w em relação a v:
Mas provamos na demonstração anterior que , assim:
De modo que tem dimensão 2, e assim não é base.
De modo que a informação 2 é verdadeira.
Passo 4
Agora para a informação 3:
Se não é ortogonal nem a nem a , então o conjunto
É linearmente dependente se, e somente se,
Se não é ortogonal a e então a projeção não é nula, então vamos ver:
Veja que ambas as projeções não dependem de . Assim o conjunto é:
De modo que a informação 3 é verdadeira
Passo 5
Lembra da informação que tivemos quando conferimos a informação 1?
O produto interno convencional não é geral, logo pode não ser necessariamente verdadeiro.
Assim somente as informações II e III são necessariamente verdadeiras.
A resposta é a letra e)
Resposta
Letra e)