Espaços Vetoriais
A única afirmativa verdadeira é:
Se um conjunto é linearmente dependente então ele gera o espaço inteiro.
Todo subconjunto de um conjunto linearmente dependente é linearmente dependente.
Nenhum conjunto linearmente independente gera o espaço inteiro.
Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente é linearmente independente.
Passo 1
Vamos pensar!
A e a falam de “gerar o espaço inteiro”.
Esse termo é meio confuso! Mas é justamente o que complica na hora de pensar.
“Gerar o espaço inteiro” é tipo um conjunto de vetores que gera todo o .
Ou seja, aqueles vetores geram o espaço do inteiro.
Ora, mas você já conhece esse tipo de conjunto, são as bases!
Além de as bases serem os vetores que “geram o espaço inteiro”, sabemos que elas têm que ser . Não existe base , e por isso descartamos a letra .
A letra diz basicamente que não existem bases, (ou seja, não existem conjuntos LI que gerem o espaço inteiro. Mas as bases geram!)
Como sabemos que existem esses conjuntos e que são as bases, as duas são falsas.
Passo 2
A letra fala que se um conjunto é , então todos os seus subconjuntos também são.
Será que isso é verdade?
Não! Sempre que tiramos um vetor que forma um conjunto , em algum momento ele vai ser .
Por exemplo, o conjunto é porque o vetor nulo está lá.
Mas se eu tirar o vetor nulo, ele vira !
É falsa.
Passo 3
Ora, se um conjunto é , nenhum dos seus vetores é combinação linear do outro.
Se tirarmos qualquer vetor, isso vai continuar acontecendo!
Afinal os vetores que sobraram já estavam ali antes e já não eram combinação linear um do outro! Ou seja, se eu tiro vetores de um conjunto , ele continua (já se eu acrescentar talvez isso não aconteça).
Logo a é verdadeira.
Resposta
Letra