USP – Álgebra Linear – P1 2020 – Questão 7
Seja uma base ortonormal de e seja o vetor que satisfaz as seguintes condições:
-
- é ortogonal a
- O ângulo entre e mede
- forma um ângulo obtuso com
Se , então é igual a
Passo 1
Faaala pessoal, bora lá pra mais uma??
Aqui temos algumas informações sobre um vetor e aí queremos descobrir as suas coordenadas a partir dessas pistas
Vamos desvendar cada uma delas então :D
Passo 2
Vamos lá pessoal, pista por pista:
- Se , então
Elevando os dois lados ao quadrado:
- Se é ortogonal a , então o produto escalar entre eles tem que valer 0
Então:
Passo 3
Agora vamos para a terceira pista pessoal!
- Se o ângulo entre e é , então o produto escalar entre e vai ser o produto dos módulos deles multiplicado pelo cosseno de :
Então:
Como , então
Aeeeee, então já descobrimos duas coordenadas:
Passo 4
Lá do passo 2, temos que
Substituindo , temos
Então
Opa, mas e agora para sabermos se o vai ser positivo ou negativo? Boraaa pra pista que ficou faltando hehehe
Passo 5
Temos que o ângulo entre e é obtuso. Então, o produto escalar entre eles tem que ser negativo:
Opa, então o tem que ser negativo!!
Logo
Portanto, o vetor vai ser
E a soma entre eles:
Arrasamossss!