Seja β uma base ortonormal de V 3 e seja u o vetor que satisfaz as seguintes condições:

- u = 2 6

- u é ortogonal a - 1,1 , 0 β

- O ângulo entre u e - 1 , - 1,0 β mede 30 °

- u forma um ângulo obtuso com 0,0 , 1 β

Se u = a , b , c β , então a + b + c é igual a

Passo 1

Faaala pessoal, bora lá pra mais uma??

Aqui temos algumas informações sobre um vetor u e aí queremos descobrir as suas coordenadas a partir dessas pistas

Vamos desvendar cada uma delas então :D

Passo 2

Vamos lá pessoal, pista por pista:

- Se u = 2 6 , então

a 2 + b 2 + c 2 = 2 6

Elevando os dois lados ao quadrado:

a 2 + b 2 + c 2 = 4 ∙ 6 = 24

- Se u é ortogonal a - 1,1 , 0 β , então o produto escalar entre eles tem que valer 0

a , b , c . - 1,1 , 0 = 0

- a + b = 0

Então:

b = a

Passo 3

Agora vamos para a terceira pista pessoal!

- Se o ângulo entre u e - 1 , - 1,0 β é 30 ° , então o produto escalar entre u e ( - 1 , - 1,0 ) vai ser o produto dos módulos deles multiplicado pelo cosseno de 30 ° :

u . - 1 , - 1,0 = u . - 1 , - 1,0 . cos ⁡ 30 °

Então:

a , b , c . - 1 , - 1,0 = 2 6 . - 1 2 + - 1 2 . cos ⁡ 30 °

- a - b = 2 6 ∙ 2 . 3 2

- a - b = 6 ∙ 2 . 3

- a - b = 3 6

- a - b = 6

Como a = b , então

- b - b = 6

- 2 b = 6

- b = 3

b = - 3

Aeeeee, então já descobrimos duas coordenadas:

a = b = - 3

Passo 4

Lá do passo 2, temos que

a 2 + b 2 + c 2 = 24

Substituindo a = b = - 3 , temos

- 3 2 + - 3 2 + c 2 = 24

9 + 9 + c 2 = 24

c 2 = 6

Então

c = ± 6

Opa, mas e agora para sabermos se o c vai ser positivo ou negativo? Boraaa pra pista que ficou faltando hehehe

Passo 5

Temos que o ângulo entre u e ( 0,0 , 1 ) é obtuso. Então, o produto escalar entre eles tem que ser negativo:

a , b , c . 0,0 , 1 < 0

c < 0

Opa, então o c tem que ser negativo!!

Logo

c = - 6

Portanto, o vetor u vai ser

u = - 3 , - 3 , - 6

E a soma entre eles:

- 3 - 3 - 6 = - 6 - 6

Arrasamossss!

Resposta

- 6 - 6

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