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Exercícios Resolvidos de Base

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Enunciado

USP, PSUB, 2018, Q11

Considere u → = 1,0 , 1 B , v → = 1,1 , 0 B , w → = 2 , - 1,1 B , onde B é a base ortonormal de V 3 . Suponha que w → = x → + y → , onde x → é uma combinação linear de u →   e   v →   e   y → é ortogonal tanto a u → como a v → . Se

y → = a , b , c B

Então a + b + c   é   i g u a l   a :

a ) - 4 3

b ) 10 3

c ) 8 3

d ) - 2 3

e ) 4 3

Passo 1

Falaaaa, tranquilo?? Essa questão nos dá muitas informações, vamos organizar tudo isso para abrirmos nossa mente. Primeiro vamos relembrar alguns desses conceitos citados:

Quando é dito que x → é uma combinação linear de u →   e   v → estamos falando que existem a , b   ∈ R tais que:

x → = r u → + t v →

Além disso, quando é falado y → é ortogonal tanto a u → como a v → , temos uma forma de achar o “padrão” desse vetor y, pois se fizermos u → × v → acharemos um vetor perpendicular aos dois. Bora fazer isso?

u → × v → = i j k 1 0 1 1 1 0 = i 0 1 1 0 - j 1 1 1 0 + k 1 0 1 1 = ( - 1,1 , 1 )

Vale lembrar que esse vetor, mesmo sendo perpendicular a u → e v → , não necessariamente é igual a y → , um exemplo disso é pensar que qualquer múltiplo de ( - 1,1 , 1 ) também será perpendicular aos 2. Logo, podemos dizer que y → é da forma y → = z ( ( - 1,1 , 1 ) )

Passo 2

Agora beleza, conseguimos esclarecer algumas coisinhas da questão. Bora olhar a última informação que nos é dada:

w → = x → + y →

Vamos agora substituir os valores de x →   e   y → e fazer as contas.

w → =   r u → +   t v → + z - 1,1 , 1 B  

2 , - 1,1 B = r 1,0 , 1 B + t 1,1 , 0 B + z - 1,1 , 1 B

Passo 3

Agora basta resolver o sisteminha

2 = r + t - z - 1 = t + z           1 = r + z              

Somando as duas últimas, temos:

0 = t + r + 2 z → t + r = - 2 z

Colocando isso na primeira:

2 = r + t - z = - 2 z - z = - 3 z → z = - 2 3

Logo:

y → = z - 1,1 , 1 B = - 2 3 - 1,1 , 1 B = 2 3 , - 2 3 , - 2 3 B

Como é dito que y → = a , b , c B = 2 3 , - 2 3 , - 2 3 B → a + b + c = - 2 3

E finalmente conseguimos finalizar a questão, uma questão com os passos mais simples, porém que exige que façamos os passos com calma.

Resposta

Letra D

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .