Seja A = 1 - 1 - 1 0 2 0 1 3 1 0 2 0 4 2 4 0 2 6 1 - 3

(b) Determine bases para o espaço linha e para o espaço coluna de A e suas dimensões.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Foi solicitado para a gente calcular as bases para o espaço linha e as bases para o espaço coluna da matriz A .

Como para quase tudo temos que escalonar a matriz que estamos trabalhando, nesse caso não vai ser diferente. Para calcular o espaço linha da matriz A vamos escalona-la e cada linha não nula será os componentes da base para o espaço linha.

Para calcular as bases para o espaço coluna vamos seguir os mesmos passos, porém vamos trabalhar com a matriz transposta de A .

Entendeu? Vamos para os cálculos!

Passo 2

Primeiro vamos calcular as bases para o espaço linha e como explicado anteriormente vamos escalonar a matriz A onde não necessariamente vamos atribuir o valor 1 aos pivôs de cada linha.

Bora lá!

A = 1 - 1 - 1 0 2 0 1 3 1 0 2 0 4 2 4 0 2 6 1 - 3 L 3 → L 3 - 2 L 1

1 - 1 - 1 0 2 0 1 3 1 0 0 2 6 2 0 0 2 6 1 - 3 L 3 → L 3 - 2 L 2 L 4 → L 4 - 2 L 2

1 - 1 - 1 0 2 0 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 1 - 3 L 3 ↔ - L 4

1 - 1 - 1 0 2 0 1 3 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0

Neste caso os pivôs acabaram tendo o valor 1 , porém não há essa necessidade.

Para cada linha os componentes integrantes da matriz vão ser as coordenadas do vetor da base linha, onde

Para a linha 1:

b L 1 = 1 , - 1 , - 1,0 , 2

Para a linha 2:

b L 2 = 0,1 , 3,1 , 0

Para a linha 3:

b L 3 = 0,0 , 0,1 , 3

Para a linha 4 não é possível determinar uma base já que todos os componentes são zero, logo as bases para o espaço linha de A são:

b L 1 = 1 , - 1 , - 1,0 , 2 b L 2 = 0,1 , 3,1 , 0 b L 3 = 0,0 , 0,1 , 3

Foi solicitado também a dimensão de cada espaço.

A dimensão de um espaço é calculada a partir da quantidade de vetores que compõem sua base, logo, para nosso espaço linha temos 3 vetores, portanto a dimensão é 3.

Passo 3

Para calcular as bases do espaço coluna e suas dimensões vamos seguir os mesmos passos, porém vamos utilizar a matriz transposta de A .

Lembra como calcula uma matriz transposta? O que é linha vira coluna e o que a coluna vira linha.

A T = 1 0 2 0 - 1 1 0 2 - 1 3 4 6 0 1 2 1 2 0 4 - 3

Vamos escalona-la!

1 0 2 0 - 1 1 0 2 - 1 3 4 6 0 1 2 1 2 0 4 - 3 L 2 → L 2 + L 1 L 3 → L 3 + L 1 L 5 → L 5 - 2 L 1

1 0 2 0 0 1 2 2 0 3 6 6 0 1 2 1 0 0 0 - 3 L 3 → L 3 - 3 L 2 L 4 → L 4 - L 2 L 5 → - L 5 3

1 0 2 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 - 1 0 0 0 1 L 4 ↔ L 4 + L 5 L 5 ↔ L 3

1 0 2 0 0 1 2 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

A partir de A transposta escalonada, tiramos as bases para o espaço coluna onde cada linha representa uma base

Para a linha 1:

b C 1 = 1,0 , 2,0

Para a linha 2:

b C 2 = 0,1 , 2,2

Para a linha 3:

b C 3 = 0,0 , 01

Para as linhas 4 e 5 não podemos tirar nenhuma base, já que seus componentes são nulos. Portanto o espaço coluna da matriz A é

b C 1 = 1,0 , 2,0 b C 2 = 0,1 , 2,2 b C 3 = 0,0 , 01

Como vimos anteriormente a dimensão de uma base recomposta pela quantidade de vetores que a base é composta, ou seja, nosso espaço coluna possui 3 dimensões.

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Espaço linha: b L 1 = 1 , - 1 , - 1,0 , 2 b L 2 = 0,1 , 3,1 , 0 b L 3 = 0,0 , 0,1 , 3

Espaço coluna: b C 1 = 1,0 , 2,0 b C 2 = 0,1 , 2,2 b C 3 = 0,0 , 01

Ambos os espaços possuem 3 dimensões.

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