Considere os planos e de equações cartesianas
(a) Determine uma base de e uma base de tais que as duas bases tenham um vetor comum.
Passo 1
(a) Temos dois planos e queremos achar uma base para cada um deles.
Como os planos são espaços de dimensão 2, cada base vai ter que ter dois vetores dentro dela, beleza?
E mais do que isso, o enunciado diz que as bases e devem ter um vetor em comum, então esse vetor vai ser um cara que está nos dois planos ao mesmo tempo.
Bom, o plano tem vetor normal e o plano tem vetor normal .
Esses dois vetores não são proporcionais, então os planos são transversais.
Se eles são transversais, a interseção entre os dois vai ser uma reta.
E o vetor diretor dessa reta vai ser dado por
Calculando:
Como multiplicar ou dividir um vetor por um escalar não altera a direção do vetor, vamos dizer que o vetor diretor da reta vai ser
Esse vetorzinho é o que está nos dois planos ao mesmo tempo, certo?
Então ele já vai entrar nas bases que queremos achar:
Vamos começar procurando o segundo vetor que vai entrar na base de
Como já temos um vetor que pertence a , basta achar outro vetor desse plano que seja linearmente independente (LI) com o vetor
Os vetores que pertencem a são vetores tais que:
Então são vetores da forma:
Esses dois vetores são LI com o vetor então posso pegar qualquer um deles pra base .
Eu vou colocar o e a base vai ser:
Agora falta achar o segundo vetor pra base de
Vamos usar a mesma ideia de antes e buscar um outro vetor do plano que seja LI com o vetor
Os vetores de são vetores que satisfazem:
Então são vetores:
O vetor é LD com o vetor que já está na base, então não vamos escolher ele!
Nossa base fica então:
Resposta
(a) e