Considere os planos π e ρ de equações cartesianas

π : x - y - z = 0

ρ : 2 x + y + z = 0

(a) Determine uma base β de π e uma base γ de ρ tais que as duas bases tenham um vetor comum.

Passo 1

(a) Temos dois planos e queremos achar uma base para cada um deles.

Como os planos são espaços de dimensão 2, cada base vai ter que ter dois vetores dentro dela, beleza?

E mais do que isso, o enunciado diz que as bases β e γ devem ter um vetor em comum, então esse vetor vai ser um cara que está nos dois planos ao mesmo tempo.

Bom, o plano π tem vetor normal n π = 1 , - 1 , - 1   e o plano ρ tem vetor normal n ρ = ( 2,1 , 1 ) .

Esses dois vetores não são proporcionais, então os planos são transversais.

Se eles são transversais, a interseção entre os dois vai ser uma reta.

E o vetor diretor dessa reta vai ser dado por n π × n ρ .

Calculando:

n π × n ρ = 1 , - 1 , - 1 × 2,1 , 1 = 0 , - 3,3

Como multiplicar ou dividir um vetor por um escalar não altera a direção do vetor, vamos dizer que o vetor diretor da reta vai ser 0,1 , - 1 .

Esse vetorzinho é o que está nos dois planos ao mesmo tempo, certo?

Então ele já vai entrar nas bases que queremos achar:

β = 0,1 , - 1 ,   * , * , *

γ = 0,1 , - 1 ,   * , * , *

Vamos começar procurando o segundo vetor que vai entrar na base β de π .

Como já temos um vetor que pertence a π , basta achar outro vetor desse plano que seja linearmente independente (LI) com o vetor 0,1 , - 1 .

Os vetores que pertencem a π são vetores ( x , y , z ) tais que:

x - y - z = 0 ⇒ x = y + z

Então são vetores da forma:

x , y , z = y + z , y , z = y 1,1 , 0 + z 1,0 , 1

Esses dois vetores são LI com o vetor 0,1 , - 1 , então posso pegar qualquer um deles pra base β .

Eu vou colocar o ( 1,0 , 1 ) , e a base β vai ser:

β = 0,1 , - 1 , 1,0 , 1

Agora falta achar o segundo vetor pra base γ de ρ .

Vamos usar a mesma ideia de antes e buscar um outro vetor do plano que seja LI com o vetor 0,1 , - 1 .

Os vetores de ρ são vetores ( x , y , z ) que satisfazem:

2 x + y + z = 0 ⇒ y = - 2 x - z

Então são vetores:

x , y , z = x , - 2 x - z , z = x 1 , - 2,0 + z 0 , - 1,1

O vetor ( 0 , - 1,1 ) é LD com o vetor ( 0,1 , - 1 ) que já está na base, então não vamos escolher ele!

Nossa base γ fica então:

γ = 0,1 , - 1 , 1 , - 2,0

Resposta

(a) β = 0,1 , - 1 , 1,0 , 1 e γ = 0,1 , - 1 , 1 , - 2,0

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