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Exercícios Resolvidos de Base

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Enunciado

Considere o subespaço vetorial

F = { a 0 + a 1 x + a 2 x 2   ∈ P 2 :   a 0 - 2 a 1 + 4 a 2 = 0 }

a) Obtenha uma base para F .

b) Obtenha uma base α = { u 1 ,   u 2 ,   u 3 } para o P 2 tal que u 1 e u 2 sejam elementos de F .

Passo 1

a) Isolando a 0 em a 0 - 2 a 1 + 4 a 2 = 0 , temos que a 0 = 2 a 1 - 4 a 2 . Logo, F pode ser escrito como

F = { 2 a 1 - 4 a 2 + a 1 x + a 2 x 2 ;   a 1 ,   a 2 ∈ R }

Colocando a 1 e a 2 em evidência:

F = { a 1 ( 2 + x ) + a 2 ( x 2 - 4 ) ;   a 1 ,   a 2 ∈ R }

Logo, F é gerado por 2 + x e por x 2 - 4 . Portanto, uma base para F é

β F = { 2 + x ,   x 2 - 4 }

Passo 2

b) Se escolhermos u 1 e u 2 como os elementos da base de F , ou seja, u 1 = 2 + x e u 2 = x 2 - 4 , só precisamos agora escolher um u 3 que não seja combinação linear de u 1 e u 2 .

Agora vamos pensar bem, se tivermos uma combinação linear não nula de u 1 e u 2 , sempre vamos ter algum elemento multiplicando x e/ou x 2 . Então podemos escolher um número escalar qualquer para ser u 3 que ele com certeza não vai poder ser escrito como combinação linear de u 1 e u 2 . Eu escolho o número 1 :P mas você pode escolher qualquer outro.

Então a base α vai ser

α = { 2 + x ,   x 2 - 4 ,   1 }

Resposta

a) β F = { 2 + x ,   x 2 - 4 }

b) α = { 2 + x ,   x 2 - 4 ,   1 }

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