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Exercícios Resolvidos de Base

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Enunciado

USP, 2018.1, P2, Questão 8

Se B = { u → , v → , w → } é base de V 3 , sabemos que C = { 1 2 u → + v → , 1 2 v → + w → , 1 2 w → + u → } também é base de V 3 . Se x → = a , b , c B , então é correto afirmar que:

Passo 1

Faaalaaa, blz????? Vamos começar essa questão envolvendo bases distintas de um mesmo espaço e coordenadas de vetores nessas bases.

Primeiro vamos lembrar que se x → = a , b , c B então x → = a u → + b v → + c w → .

Passo 2

Agora queremos escrever x → como algo na base C, logo, seria algo do tipo:

x → =   α 1 2 u → + v → + β 1 2 v → + w → + γ 1 2 w → + u → = α , β , γ C

Veja que podemos deixar a equação acima em função dos vetores de B, para acharmos o α ,   β   e   γ ,   igualando a x → = a u → + b v → + c w →

Passo 3

x → =   α 1 2 u → + v → + β 1 2 v → + w → + γ 1 2 w → + u → =

=   u → 1 2 α + γ + v → 1 2 α + β + w → 1 2 β + γ  

Igualando a equação de cima com x → = a u → + b v → + c w → :

a =   1 2 α + γ   b = 1 2 α + β   c =   1 2 β + γ

2 a =   α + γ 2 b = α + β 2 c = β + γ

Subtraindo a segunda da primeira e olhando junto com a terceira equação:

2 b - 2 a =   β - γ 2 c = β + γ

Somando as equações:

2 b - 2 a + 2 c = 2 β   →   β = b - a + c  

Subtraindo as equações:

2 b - 2 a - 2 c = - 2 γ   →   γ = - b + a + c  

Usando que 2 b = α + β :

2 b = α + β =   α + b - a + c  

Daqui tiramos que:

α = b + a - c  

Logo:

x → = α , β , γ = b + a - c ,   b - a + c ,   - b + a + c   C    

Resposta

x → =   b + a - c ,   b - a + c ,   - b + a + c   C

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