Considere a equação diferencial: y ' = x e x + y

  1. Obtenha a solução geral.
  2. Determine a solução que satisfaz a condição inicial y 0 = 0 .

Passo 1

a)

Vamos começar fazendo

y ' = d y d t

Assim, nossa Edo vai ficar

d y d t = x e x + y

Arrumando isso, vamos ter

d y d t = x e x e y

Opa, isso é uma EDO separável

Passo 2

Agora, vamos isolar o d y e d t

e y d y = x e x d x

Passo 3

Vamos integrar dos dois lados agora

∫ e y d y = ∫ x e - x d x

A integral do lado esquerdo é tranquila de fazer, agora a do lado direito é meio braba. Vamos resolve-la separado

∫ x e - x d x

Para isso, vamos usar integração por partes

u = x → d u = d x

e - x d x = d v → v = - e - x

Nossa integral vai ficar

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x e - x d x = - x e - x - ∫ - e - x d x

∫ x e - x d x = - x e - x + ∫ e - x d x

∫ x e - x d x = - x e - x - e - x

Passo 4

Voltando para nossa EDO, vamos ter

∫ e y d y = ∫ x e - x d x

Usando o resultado da nossa integral, temos

e y = - x e - x - e - x + C

e y = - e - x x + 1 + C

Isolando o y , vamos ter

y = ln ⁡ C - e - x x + 1

Passo 5

b)

Vamos usar agora a condição inicial que ele deu

y 0 = 0

Jogando isso na solução de y

0 = ln ⁡ C - e - 0 0 + 1

0 = ln ⁡ C - 1

e 0 = C - 1

1 = C - 1

C = 2

A nossa solução vai ficar

y = ln ⁡ 2 - e - x x + 1

Resposta

a)

y = ln ⁡ C - e - x x + 1

b)

y = ln ⁡ 2 - e - x x + 1

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y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du