Nos exercícios 17 a 19 resolva o problema de valor inicial (PVI).

17y' = e^x / y, y(0) = 1

Passo 1

Bom, temos aqui um caso de EDO de variáveis separáveis. Vamos tentar escrevê-la da forma y ' = f x g ( y ) para verificar isso:

y ' = e x y

y ' = e x 1 y

UHUL! Agora é só alegria :D

Passo 2

Separando as variáveis:

y d y = e x d x

Integrando dos dois lados:

∫ y d y = ∫ e x d x

y 2 2 = e x + C

y = ± 2 e x + D

Passo 3

Agora vamos usar a condição inicial para descobrir o valor da constante:

y 0 = 1

1 = ± 2 + D

D = - 1

y = ± 2 e x - 1

Bom, perceba que se você substituir o x = 0 , deveria encontrar y = 1 , mas estamos tendo y = ± 1 , então vamos considerar apenas a solução y = 2 e x - 1 . Além disso, temos que checar o domínio dessa solução. Temos:

2 e x - 1 > 0

e x > 1 2

x > - l n 2

Agora fechou! 😉

Resposta

17 .   y = 2 e x - 1   ,   x > - l n 2

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