Nos exercícios 1 a 18 encontre todas as soluções da EDO.

y' = 1 + x + y^2 + x * y^2

Passo 1

Temos o y ' sozinho aqui do lado esquerdo. Podemos reescrever na forma

d y d x = 1 + x + y 2 + x y 2  

Será que é uma EDO separável?

Para saber, precisamos tentar colocar tudo que é x de um lado e tudo que é y do outro. Começamos colocando o y 2 em evidência:

d y d x = 1 + x + y 2 + x y 2  

d y d x = 1 + x + y 2 1 + x

Agora conseguimos colocar 1 + x em evidência: d y d x = 1 + x 1 + y 2

Passo 2

Agora podemos colocar tudo que for y de um lado e tudo que for x do outro:

d y 1 + y 2 = 1 + x d x

E podemos integrar isso aí:

∫ d y 1 + y 2 = ∫ 1 + x d x

Show. Vamos calcular essas integrais aí. A primeira é a integral fundamental do arco tangente:

∫ d y 1 + y 2 = arctg ⁡ y + C 1

A segunda é uma integral de polinômio: ∫ 1 + x d x = x + x 2 2 + C 2

Passo 3

Agora substituímos na expressão:

arctg ⁡ y + C 1 = x + x 2 2 + C 2

E definimos C ≔ C 2 - C 1 para ficar mais bonitinho: arctg ⁡ y = x + x 2 2 + C

E podemos deixar a solução assim mesmo. 😊

Resposta

arctg ⁡ y = x + x 2 2 + C

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