Frequentemente, uma pequena mudança na condição inicial ou na equação diferencial, geram uma mudança radical na solução da equação diferencial. Nos problemas de (a) até (d), encontre uma solução explícita para o problema de valor inicial dado, trace um gráfico da solução encontrada e compare cada curva da solução em uma vizinhança de (0;1).

a) (dy/dx) = (y - 1)^2, y(0) = 1,01

Passo 1

E aí, tudo bem? Essa questão é o começo de uma longa lista, e vou te ajudar em cada uma das questões! Começando por essa edo bonitinha

d y d x = y - 1 2 ,   y 0 = 1,01

Vamos relembrar a técnica de resolução que já conhecemos:

  • Variáveis separáveis: para aplicar esse método precisamos jogar tudo que envolve x para um lado, tudo que envolve y para o outro e integrar!

Como podemos separar de um lado tudo que tem x , e para outro tudo que tem y , então é esse o método certo! E depois? Bom, esse é um problema de valor inicial, então achada a solução, precisamos ainda aplicar a condição dada para achar a constante!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de variáveis separáveis, precisamos jogar tudo que tem x para um lado e tudo que tem t do outro e integrar!

d y d x = y - 1 2

d y y - 1 2 = d x

Tudo bem até aqui?

Integrando temos

∫ d y y - 1 2 = ∫ d x

- 1 y - 1 = x + C

y - 1 = - 1 x + C

y = 1 - 1 x + C

Passo 3

Agora por fim aplicar a condição inicial para achar aquele C

Do passo anterior y = 1 - 1 x + C

Do enunciado temos   y 0 = 1,01 , daí

1 , 01 = 1 - 1 C

- 1 C = 1,01 - 1

- 1 C = 0,01

C = - 100

Beleza?

Aí nossa solução fica assim:

y = 1 - 1 x - 100

Comparando com a solução

y = 1 - 1 x

Temos

E é isso! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

y = 1 - 1 x - 100

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