Frequentemente, uma pequena mudança na condição inicial ou na equação diferencial, geram uma mudança radical na solução da equação diferencial. Nos problemas de (a) até (d), encontre uma solução explícita para o problema de valor inicial dado, trace um gráfico da solução encontrada e compare cada curva da solução em uma vizinhança de (0;1).

c) (dy/dx) = (y - 1)^2 + 0,01; y(0) = 1

Passo 1

E aí, tudo bem? Essa questão é o começo de uma longa lista, e vou te ajudar em cada uma das questões! Começando por essa edo bonitinha

d y d x = y - 1 2 + 0,01   ,   y 0 = 1

Vamos relembrar a técnica de resolução que já conhecemos:

  • Variáveis separáveis: para aplicar esse método precisamos jogar tudo que envolve x para um lado, tudo que envolve y para o outro e integrar!

Como podemos separar de um lado tudo que tem x , e para outro tudo que tem y , então é esse o método certo! E depois? Bom, esse é um problema de valor inicial, então achada a solução, precisamos ainda aplicar a condição dada para achar a constante!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de variáveis separáveis, precisamos jogar tudo que tem x para um lado e tudo que tem t do outro e integrar!

d y d x = y - 1 2 + 0,01  

d y y - 1 2 + 0,01 = d x

Tudo bem até aqui?

Integrando temos

∫ d y y - 1 2 + 0,01 = ∫ d x

Fazendo uma mudança de variáveis temos

∫ 1 0,01 u 2 0,01 + 1 d u = x + c

100 ∫ 1 u 2 0,01 + 1 d u = x + c

E mais uma vez

100 ∫ 1 10 v 2 + 1 d v = x + c

Integrando temos

10 arctan ⁡ v = x + c

E retornando para y

10 arctan ⁡ 10 y - 1 = x + c

Passo 3

Agora por fim aplicar a condição inicial para achar aquele c

Do passo anterior 10 arctan ⁡ 10 y - 1 = x + c

Do enunciado temos   y 0 = 1 , daí

10 arctan ⁡ [ 10.0 ] = 0 + c

c = 0

Beleza?

Aí nossa solução fica assim:

10 arctan ⁡ 10 y - 1 = x + c

arctan ⁡ [ 10 ( y - 1 ) ] = x 10

10 y - 1 = tan ⁡ x 10

y = 1 10 tan ⁡ x 10 + 1

E é isso! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

y = 1 10 tan ⁡ x 10 + 1

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