Nos problemas de (a) até (d), encontre uma solução para o problema de valor inicial dado

b) x^2 * (dy/dx) = y - x * y, y(-1) = -1

Passo 1

E aí, tudo bem? Essa questão é o começo de uma longa lista, e vou te ajudar em cada uma das questões! Começando por essa edo bonitinha

x 2 d y d x = y - x y ,   y - 1 = - 1

Vamos relembrar a técnica de resolução que já conhecemos:

  • Variáveis separáveis: para aplicar esse método precisamos jogar tudo que envolve x para um lado, tudo que envolve y para o outro e integrar!

Como podemos separar de um lado tudo que tem x , e para outro tudo que tem t , então é esse o método certo! E depois? Bom, esse é um problema de valor inicial, então achada a solução, precisamos ainda aplicar a condição dada para achar a constante!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de variáveis separáveis, precisamos jogar tudo que tem x para um lado e tudo que tem y do outro e integrar!

x 2 d y d x = y - x y

d y y = 1 - x x 2 d x

Tudo bem até aqui?

Integrando temos

d y y = 1 x 2 - 1 x d x

∫ d y y = ∫ 1 x 2 - 1 x d x

ln ⁡ y = - 1 x - ln ⁡ x + C

Passo 3

Agora por fim aplicar a condição inicial para achar aquele C

Do passo anterior

ln ⁡ y = - 1 x - ln ⁡ x + C

y = e - 1 x + ln ⁡ x - 1 + C

y = e - 1 x + C x

Do enunciado temos y - 1 = - 1 , daí

- 1 = 1 - 1 e 1 + C

1 = e 1 + C

ln ⁡ 1 = 1 + C

C = - 1

Beleza?

Aí nossa solução fica assim:

y = e - 1 + 1 x x

E é isso! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

y = e - 1 + 1 x x

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