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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

UTFPR– Equações Diferenciais – Lista 3 – Questão 1e

Nos problemas de (a) até (k), resolva a equação diferencial dada usando o método de separação de variáveis

e ) y ln ⁡ x d x d y = y + 1 x 2

Passo 1

E aí, tudo bem? Essa questão é o come��o de uma longa lista, e vou te ajudar em cada uma das questões! Começando por essa edo bonitinha

y ln ⁡ x d x d y = y + 1 x 2

Vamos relembrar a técnica de resolução que ele fala no enunciado:

  • Variáveis separáveis: para aplicar esse método precisamos jogar tudo que envolve x para um lado, tudo que envolve y para o outro e integrar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de variáveis separáveis, precisamos jogar tudo que tem x para um lado e tudo que tem y do outro e integrar! Nossa edo é

y ln ⁡ x d x d y = y + 1 x 2

Organizando temos

x 2 ln ⁡ x d x = y + 1 2 y d y

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que separamos as variáveis, vamos integrar!

∫ y + 1 2 y d y = ∫ x 2 ln ⁡ x d x

Do lado direito vamos integrar por partes u = ln ⁡ x ,   d u = 1 x d x ,   d v = x 2 d x ,   v = x 3 3 . Já do lado esquerdo vamos abrir esse quadrado e separar em integrais mais simples:

∫ y 2 + 2 y + 1 y d y = x 3 3 ln ⁡ x - 1 3 ∫ x 2 d x + C

∫ y + 2 + 1 y d y = x 3 3 ln ⁡ x - 1 3 x 3 3 + C

Integrando em y temos

y 2 2 + 2 y + ln ⁡ y + x 3 3 ln ⁡ x - 1 9 x 3 + C

E é isso! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

y 2 2 + 2 y + ln ⁡ y + x 3 3 ln ⁡ x - 1 9 x 3 + C

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y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
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Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du