Nos problemas de (a) até (k), resolva a equação diferencial dada usando o método de separação de variáveis

e^y * ln(x) * (dx/dy) = ((y + 1)/x)^2

Passo 1

E aí, tudo bem? Essa questão é o come��o de uma longa lista, e vou te ajudar em cada uma das questões! Começando por essa edo bonitinha

y ln ⁡ x d x d y = y + 1 x 2

Vamos relembrar a técnica de resolução que ele fala no enunciado:

  • Variáveis separáveis: para aplicar esse método precisamos jogar tudo que envolve x para um lado, tudo que envolve y para o outro e integrar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de variáveis separáveis, precisamos jogar tudo que tem x para um lado e tudo que tem y do outro e integrar! Nossa edo é

y ln ⁡ x d x d y = y + 1 x 2

Organizando temos

x 2 ln ⁡ x d x = y + 1 2 y d y

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que separamos as variáveis, vamos integrar!

∫ y + 1 2 y d y = ∫ x 2 ln ⁡ x d x

Do lado direito vamos integrar por partes u = ln ⁡ x ,   d u = 1 x d x ,   d v = x 2 d x ,   v = x 3 3 . Já do lado esquerdo vamos abrir esse quadrado e separar em integrais mais simples:

∫ y 2 + 2 y + 1 y d y = x 3 3 ln ⁡ x - 1 3 ∫ x 2 d x + C

∫ y + 2 + 1 y d y = x 3 3 ln ⁡ x - 1 3 x 3 3 + C

Integrando em y temos

y 2 2 + 2 y + ln ⁡ y + x 3 3 ln ⁡ x - 1 9 x 3 + C

E é isso! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

y 2 2 + 2 y + ln ⁡ y + x 3 3 ln ⁡ x - 1 9 x 3 + C

Exercícios de Livros Relacionados