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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

UTFPR– Equações Diferenciais – Lista 3 – Questão 1f

Nos problemas de (a) até (k), resolva a equação diferencial dada usando o método de separação de variáveis

f ) csc ⁡ y d x + sec 2 ⁡ x d y = 0

Passo 1

E aí, tudo bem? Essa questão é o começo de uma longa lista, e vou te ajudar em cada uma das questões! Começando por essa edo bonitinha

csc ⁡ y d x + sec 2 ⁡ x d y = 0

Vamos relembrar a técnica de resolução que ele fala no enunciado:

  • Variáveis separáveis: para aplicar esse método precisamos jogar tudo que envolve x para um lado, tudo que envolve y para o outro e integrar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de variáveis separáveis, precisamos jogar tudo que tem x para um lado e tudo que tem y do outro e integrar! Nossa edo é

csc ⁡ y d x + sec 2 ⁡ x d y = 0

Organizando temos

d x sec 2 ⁡ x = - d y csc ⁡ y

- sin ⁡ y d y = cos 2 ⁡ x d x

Vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar aquele cosseno ao quadrado

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Aí temos

- sin ⁡ y d y = 1 + cos ⁡ 2 x 2 d x

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que separamos as variáveis, vamos integrar!

- ∫ sin ⁡ y d y = 1 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 x d x

Daí temos

cos ⁡ y = 1 2 + 1 4 sin ⁡ 2 x + C

E é isso! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

cos ⁡ y = 1 2 + 1 4 sin ⁡ 2 x + C

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Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du