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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

UTFPR– Equações Diferenciais – Lista 3 – Questão 1i

Nos problemas de (a) até (k), resolva a equação diferencial dada usando o método de separação de variáveis

i ) d P d t = P - P 2

Passo 1

E aí, tudo bem? Essa questão é o começo de uma longa lista, e vou te ajudar em cada uma das questões! Começando por essa edo bonitinha

d P d t = P - P 2

Vamos relembrar a técnica de resolução que ele fala no enunciado:

  • Variáveis separáveis: para aplicar esse método precisamos jogar tudo que envolve x para um lado, tudo que envolve y para o outro e integrar!

No nosso caso P e t

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de variáveis separáveis, precisamos jogar tudo que tem t para um lado e tudo que tem P do outro e integrar! Nossa edo é

d P d t = P - P 2

Organizando temos

d P P - P 2 = d t

Tudo bem até aqui?

Vamos separar o lado esquerdo em frações parciais

1 P - P 2 = A P + B 1 - P = A 1 - P + B ( P ) P - P 2

Separando em termos de mesma potência e comparando com nosso integrando temos esse sistema

- A + B = 0 A = 1

Resolvendo esse sistema temos

1 P - P 2 = 1 P - 1 P - 1

Passo 3

Agora que separamos as variáveis, vamos integrar!

∫ 1 P - 1 P - 1 d P = ∫ d t

Daí temos

ln ⁡ P - ln ⁡ P - 1 = t + C

ln ⁡ P P - 1 = e t + C

Isolando P temos

P P - 1 = e t + C

P = ( P - 1 ) e t + C

P = P e t + C - e t + C

P 1 - e t + C = - e t + C

Podemos assumir que - e C é uma constante c e aí temos

P = c e t 1 + c e t

E é isso! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

P = c e t 1 + c e t

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