Nos problemas de (a) até (k), resolva a equação diferencial dada usando o método de separação de variáveis

j) (dy/dx) = (xy + 3x - y - 3) / (xy - 2x + 4y - 8)

Passo 1

E aí, tudo bem? Essa questão é o começo de uma longa lista, e vou te ajudar em cada uma das questões! Começando por essa edo bonitinha

d y d x = x y + 3 x - y - 3 x y - 2 x + 4 y - 8

Vamos relembrar a técnica de resolução que ele fala no enunciado:

  • Variáveis separáveis: para aplicar esse método precisamos jogar tudo que envolve x para um lado, tudo que envolve y para o outro e integrar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de variáveis separáveis, precisamos jogar tudo que tem x para um lado e tudo que tem y do outro e integrar! Nossa edo é

d y d x = x y + 3 x - y - 3 x y - 2 x + 4 y - 8

Organizando temos

d y d x = x y + 3 - 1 ( y + 3 ) x y - 2 + 4 ( y - 2 )

d y d x = ( y + 3 ) ( x - 1 ) ( y - 2 ) ( x + 4 )

Aí temos

y - 2 d y ( y + 3 ) = x - 1 d x x + 4

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que separamos as variáveis, vamos integrar!

y - 2 + 5 - 5 d y ( y + 3 ) = x - 1 + 5 - 5 d x x + 4

1 - 7 y + 3 d y = 1 - 5 x + 4 d x

∫ 1 - 7 y + 3 d y = ∫ 1 - 5 x + 4 d x

Daí temos

y - 7 ln ⁡ y + 3 = x - 5 ln ⁡ x + 4 + C

E é isso! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

y - 7 ln ⁡ y + 3 = x - 5 ln ⁡ x + 4 + C

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