Resolva as seguintes equações diferenciais, pelo método de separação de variáveis

d) sen(θ) * cos(ϕ) * dθ - cos(θ) * sen(ϕ) * dϕ = 0

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa equação diferencial aqui

sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ d θ - cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ d ϕ   = 0

E pediu para resolver por separação e variáveis! Mas como resolver?

Precisamos relembrar que a técnica de separação de variáveis permite que a gente integre dos dois lados de uma equação quando um lado só depender de θ e do outro só de ϕ .

Beleza?

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Temos:

sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ   d θ - cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ   d ϕ = 0

Reorganizando os termos:

sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ   d θ = cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ   d ϕ

sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ

tan ⁡ θ d θ = tan ⁡ ϕ d ϕ

Bora integrar?

Passo 3

Integrando dos dois lados:

∫ tan ⁡ θ d θ = ∫ tan ⁡ ϕ d ϕ

ln ⁡ sec ⁡ θ + K 1 = ln ⁡ sec ⁡ ϕ + K 2

Podemos deixar as constantes do mesmo lado: K 3 = K 1 - K 2

ln ⁡ sec ⁡ ϕ = ln ⁡ sec ⁡ θ + K 3

Podemos ir mais longe e reescrever a constante como um ln de outra constante: ln ⁡ C = K 3

ln ⁡ sec ⁡ ϕ = ln ⁡ sec ⁡ θ + ln ⁡ C

Usando as propriedades de log:

ln ⁡ sec ⁡ ϕ = ln ⁡ sec ⁡ θ ⋅ C

Aplicando exponencial dos dois lados:

sec ⁡ ϕ = C sec ⁡ θ

Como s e c = 1 / c o s :

1 cos ⁡ ϕ = C 1 cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = C cos ⁡ ϕ

Acabamos =)

Resposta

cos ⁡ θ = C cos ⁡ ϕ

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