Resolva as seguintes equações diferenciais, e problemas de valor inicial.

y' = sec(2x^2 + y - 1) - 4x, y(0) = pi/4 + 1

Passo 1

Vamos fazer uma mudança de variáveis para resolver essa EDO, como a própria enunciado sugeriu, faremos:

u = 2 x 2 + y - 1

u ' = 4 x + y '

y = u ' - 4 x

Passo 2

Vamos substituir na equação inicial:

y ' = sec ⁡ 2 x 2 + y - 1 - 4 x

u ' - 4 x = sec ⁡ u - 4 x

u ' = sec ⁡ u

Passo 3

Agora vamos separar as variáveis:

d u d x = sec ⁡ u

d u s e c ⁡ ( u ) = d x

sec ⁡ u = 1 c o s ⁡ ( x )

cos ⁡ u d u = d x

Integrando dos dois lados:

∫ cos ⁡ u d u = ∫ d x

s e n u = x + C

Logo a solução geral de:

s e n 2 x 2 + y - 1 = x + C

Passo 4

Aplicar a condição inicial do problema:

  y 0 = π 4 + 1

Substituindo em:

s e n 2 x 2 + y - 1 = x + C

s e n π 4 = C

C = 2 2

A solução particular da equação é:

s e n 2 x 2 + y - 1 = x + 2 2

Resposta

s e n 2 x 2 + y - 1 = x + 2 2 é solução do problema de valor inicial.

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