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Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 2 - Equações lineares, Bernoulli e separáveis, Questão 8b

Sabendo que ao realizarmos a mudança de variável v = y - y 1 ( x ) , onde y 1 ( x ) é uma solução da EDO

d y d x = p ( x ) + q ( x ) y + r ( x ) y 2

obtemos a seguinte EDO de Bernoulli

d v d x = - [ q ( x ) + 2 r ( x ) y 1 ( x ) ] v = r ( x ) v 2

Use esse resultado para resolver a seguinte EDO

d y d x = e 2 x + ( 1 + 2 e x ) y + y 2

com y 1 ( x ) = - e x

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de EDO. Nosso objetivo é a EDO

d y d x = e 2 x + ( 1 + 2 e x ) y + y 2

Usando a seguinte substituição:

v = y - y 1 ( x ) , onde y 1 ( x ) é uma solução da EDO. E temos que y 1 ( x ) = - e x

Além disso, já sabemos que ao realizarmos a substituição a EDO fica da forma

d v d x - [ q ( x ) + 2 r ( x ) y 1 ( x ) ] v = r ( x ) v 2

Então vamos resolver mais uma questão!!!!

Passo 2

Nossa EDO é da forma

d y d x = e 2 x + ( 1 + 2 e x ) y + y 2

Vamos identificar r , p , q para que ela seja expressa na forma

d y d x = p ( x ) + q ( x ) y + r ( x ) y 2

Comparando as duas expressões temos que

p ( x ) = e 2 x

q ( x ) = ( 1 + 2 e x )

r ( x ) = 1

Então, substituindo na expressão abaixo com y 1 ( x ) = - e x , temos:

d v d x - [ q ( x ) + 2 r ( x ) y 1 ( x ) ] v = r ( x ) v 2

⇒ d v d x - [ 1 + 2 e x - 2 e x ] v = v 2

⇒ d v d x - v = v 2

Passo 3

Vamos resolver a EDO

d v d x - v = v 2

Separando as variáveis, temos:

d x = d v v 2 + v

integrando dos dois lados

x + c = ∫ d v v 2 + v

Usando frações parciais

x + c = ∫ 1 v d v - ∫ d v ( 1 + v )

⇒ x + c = l n ( v ) - l n ( 1 + v )

e x + c = v 1 + v

⇒ v = e x + c / ( 1 - e x + c )

Como v = y ( x ) - y 1 ( x ) , temos:

y ( x ) - e x = e x + c / ( 1 - e x + c )

⇒ y ( x ) = e x + c / ( 1 - e x + c ) + e x

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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