Exercícios de Álgebra Linear e Geometria Analítica - Lista de Exercícios Resolvida
Questão 1
Sejam
e
. Em todos os casos abaixo, resolva o sistema indicado usando o método de Gauss.
© Substitua a linha 2 da matriz
por
e resolva o sistema.
Ver solução completa© Substitua a linha 2 da matriz
Questão 3
Sejam
e
vetores do plano, onde
.
Determine o ponto
pertencente ao eixo
, de modo que
e
sejam LD.
Ver solução completaDetermine o ponto
Questão 4
Determine se o espaço das funções polinomiais
onde
, é um espaço vetorial respeito as seguintes operações.
- Soma:
- Produto por constante inteira :
,
.
Ver solução completaQuestão 5
Dentre os três pares de planos abaixo diga quais săo perpendiculares e quais soo paralelos, justificando sua resposta. O ângulo entre dois planos e o o angulo entre seus velomes normais.
Se tiver um par de planos paralelos, calcule a distancia entre eles.
Se tiver um par de planos que não sejam paralelos nem perpendiculares, calcule obn entre eles.
Ver solução completaSe tiver um par de planos paralelos, calcule a distancia entre eles.
Se tiver um par de planos que não sejam paralelos nem perpendiculares, calcule obn entre eles.
Questão 6
Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
f)
Ver solução completaf)
Questão 7
Verifique quais dos seguintes conjuntos de vetores do espaço vetorial
, são linearmente independentes.
Ver solução completaQuestão 8
encontre a função do produto marginal e a represente por meio de gráfico.
Ver solução completaQuestão 9
Uma moeda justa é arremessada várias vezes com resultados
com valores 0 ou 1 com probabilidade
para cada. Para
, seja
. O processos estocástico
é uma CMH?
Ver solução completaQuestão 10
Se o perímetro de um quadrado é 80 cm, qual é a medida
da diagonal desse quadrado?
Ver solução completaQuestão 12
Os pontos dados são vértices de um polígono. Esboce cada polígono no plano cartesiano e determine seu perímetro.
Ver solução completaQuestão 15
Determine quais dos seguintes subconjuntos dados formam urna base para
. Expresse o vetor
como uma combinaçāo linear dos vetores em cada subconjunto que é urn a base:
Ver solução completaQuestão 16
Nos itens abaixo determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove e se for falsa apresente um contraexemplo.
Se
então
.
Ver solução completaSe
Questão 17
Determine uma base e a dimensão para o Núcleo e para a Imagem da transformação linear
que satisfaz
e
.
Ver solução completaQuestão 18
Determine,em cada caso, se os pontos
e
dados abaixo são vértices de um triângulo.
(a)
e
;
Ver solução completa(a)
Questão 19
Para cada um dos casos abaixo, encontre equações paramétricas e equações simétricas para a reta
:
A reta
passa pelos pontos
e
.
Ver solução completaA reta
Questão 21
Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan e eliminação Gaussiana.
Ver solução completaQuestão 22
Em cada um dos problemas indique se o sistema é compatível (determinado ou indeterminado) ou incompatível, para isto, encontre a solução usando comparação, adição ou substituição (se tiver dúvidas pode consultar o seguinte link: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares .
Ver solução completaQuestão 24
Esboce os gráficos e determine os elementos principais das cônicas abaixo.
(e)
;
Ver solução completa(e)
Questão 25
Para cada valor de
, a equação
representa uma parábola. Determine a equação e esboce:
(a) a que passa por
;
(b) aquela cujo foco é
;
© aquela cuja diretriz é
.
Ver solução completa(a) a que passa por
(b) aquela cujo foco é
© aquela cuja diretriz é
Questão 26
Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
Ver solução completaQuestão 27
Assinale Verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique em cada caso:
É dado um transformação linear
(d) ( ) Se
são colineares, então
são colineares.
Ver solução completaÉ dado um transformação linear
(d) ( ) Se
Questão 28
Considere a matriz, que depende do parâmetro
.
(a) Determinar, para quais valores reais de
a matriz
é invertível.
Ver solução completaQuestão 31
A lâmina de vibração de uma campainha está presa a extremidade de uma corda esticada. Ligando-se a campainha, a lâmina passa a vibrar, executando 20 oscilações/s, dando origem a uma onda que se propaga na corda com velocidade
.
d) Se a frequência da lâmina for aumentada para
, o que acontecerá com os valores da velocidade de propagação e do comprimento de onda?
Ver solução completad) Se a frequência da lâmina for aumentada para
Questão 32
Determine a equação da reta:
que tem coeficiente angular -1 e intercepta o eixo
no ponto
;
Ver solução completaque tem coeficiente angular -1 e intercepta o eixo
Questão 35
O conjunto de todos os polinômios de grau
com coeficientes reais é um espaço vetorial sobre
.
Ver solução completaQuestão 37
Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LI, então
pode ser LD.
II - Se
são coplanares, então
pode ser LI.
III - Se
e
são LIs, então
é LI.
Ver solução completaI - Se
II - Se
III - Se
Questão 38
Use o critério de comparação para provar que
é convergente, a partir da convergência da série telescópica
Ver solução completaQuestão 39
Dada a matriz
, tal que
matrizes em simétrica ou antissimétrica. Calcule det
. Resp:
Ver solução completaQuestão 41
Resolva os sistemas abaixo (pelo método de Gauss-Jordan) escrevendo as matrizes ampliadas associadas aos novos sistemas. Reduza as matrizes ampliadas à forma escalonada reduzida, determine seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
Ver solução completaQuestão 42
Determine a equação do círculo tal que
e
são pontos diametralmente opostos e faça um esboço.
Ver solução completaQuestão 43
Por um ponto (A), construa uma reta (A)(B) paralela ao plano
, de topo, plano este que contém os pontos © e (T). Considere:
(T)
(A)
;
(B)
e
©
.
Ver solução completa(T)
(A)
(B)
©
Questão 44
Dados os vetores
e
, calcular a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor
Ver solução completaQuestão 45
Determine o ponto
que divide o segmento
em que
e
em dois segmentos proporcionais a quatro e três e sendo
maior que
.
Ver solução completaQuestão 46
A distância entre os pontos
e
, sabendo que suas coordenadas são
e
. É ,aproximadamente,:
A 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
Ver solução completaA 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
Questão 48
Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da: Parabóla
, cujo parâmetro é 2 e o foco está no semi-eixo positivo das abscissas.
Ver solução completaQuestão 50
Verifique se os seguintes conjuntos de vetores são LI ou LD. Para os conjuntos LD, escreva um deles como combinação linear dos outros.
e)
Ver solução completae)
Questão 52
A montagem de um produto exige 11 operações, segundo a tabela abaixo. Para satisfazer às necessidades de vendas é necessário produzir 300 unidades por cada turno de 450 minutos. Pede-se:
Operação | Tempo de Operação <br> (min) | Operações <br> Precedentes |
---|---|---|
A | 1,2 | – |
B | 1,5 | A |
C | 0,3 | – |
D | 1,3 | D |
E | 1,7 | – |
G | 0,5 | G |
H | 0,2 | F,H |
J | 1,4 | I,J |
(a) Desenhe o diagrama de precedências.
(b) Determine o tempo de ciclo.
© Calcule o numero mínimo de estações.
(d) Faça o balanceamento da linha de produção.
(e) Calcule a eficiência atingida.
Ver solução completa(b) Determine o tempo de ciclo.
© Calcule o numero mínimo de estações.
(d) Faça o balanceamento da linha de produção.
(e) Calcule a eficiência atingida.
Questão 53
Sejam os vetores
e
. Determinar um vetor que seja
b) ortogonal a
e
e unitário
Ver solução completab) ortogonal a
Questão 56
Dados os vetores
e
, calcule a área do paralelogramo determinado por
e
.
Ver solução completaQuestão 60
Diga se é verdadeiro ou falso, justificando sua resposta.
Dada
uma transformação linear
( ) Se
é tal
, então
.
( ) Se
, então
.
( ) Se
é combinação linear de
, então
é combinação linear de
.
Ver solução completaDada
( ) Se
( ) Se
( ) Se
Questão 61
Consideremos as seguintes definições:
(i) Um losango é um paralelogramo cujos lados são congruentes.
(ii) Um retângulo é um paralelogramo cujos ângulos são retos.
(iii) Um quadrado é um retângulo cujos lados são congruentes.
Prove os seguintes itens:
© Se as diagonais de um quadrilátero se bisseccionam e são perpendiculares, então o quadrilátero é um losango.
Ver solução completa(i) Um losango é um paralelogramo cujos lados são congruentes.
(ii) Um retângulo é um paralelogramo cujos ângulos são retos.
(iii) Um quadrado é um retângulo cujos lados são congruentes.
Prove os seguintes itens:
© Se as diagonais de um quadrilátero se bisseccionam e são perpendiculares, então o quadrilátero é um losango.
Questão 65
Usando a definição da relação de congruência módulo m, demostre as seguintes propriedades: e) Se
, então
Ver solução completaQuestão 66
Descreva todos os ideais do anel
. Tais ideais são os único ideais de
? Justifique.
Ver solução completaQuestão 67
Considere a matriz
A matriz
é chamada matriz de Hilbert de quinta ordem.
(a) Calcule o determinante de
.
Ver solução completa(a) Calcule o determinante de
Questão 68
Sendo
e
matrizes invertíveis de ordem
, isolar a matriz
de cada equação abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Ver solução completa(a)
(b)
©
(d)
(e)
Questão 69
A parábola
é um subespaço vetorial de
? Caso afirmativo, calcule sua dimensão apresentando uma base explícita.
Ver solução completaQuestão 70
Para cada uma das elipse dadas determinar:
- o comprimento do semi-eixo maior;
- o comprimento do semi-eixo menor;
- as coordenadas dos focos;
- a excentricidade.
-
-
-
Ver solução completaQuestão 71
Seja
o conjunto de todos os inteiros com a adição definida na forma usual. Defina a multiplicação por escalar o, por
para todo
em que \lceil\rceil denota o maior inteiro menor que ou igual a
. Por exemplo, 2,
. Mostre que
, com estas operações, não é um espaço vetorial. Que axiomas não são validos?
Ver solução completaQuestão 72
Seja
e
. Encontre uma base de
. Pode-se estender esta base para uma base de
? Por quê? Em caso afirmativo encontre a base de
.
Ver solução completaQuestão 75
Seja
e
Mostre que
é um ideal à esquerda de
, mas não é um ideal à direita de
.
Ver solução completaQuestão 76
Mostre que o conjunto de todas as matrizes diagonais reais de ordem
em relação às operações de adição e multiplicação por escalar de matrizes é um espaço vetorial.
Ver solução completaQuestão 77
Considere o triângulo
de vértices
e
. O ponto do triângulo em que se interceptam as três alturas (segmentos de reta perpendicular à reta suporte de um lado do triângulo com extremidades nesta reta e no vértice oposto ao lado considerado) é chamado ortocentro. Determine as coordenadas do ortocentro de
. Classifique o triângulo mediante sua resposta nesse item;
Ver solução completaQuestão 78
Determinar a equação geral do plano que contém o ponto
e é simultaneamente ortogonal aos planos
e
.
Ver solução completaQuestão 79
Considere a matriz
que representa uma transformação linear na base canônica de
. Ao mudarmos para uma base que representa a mesma transformação por uma matriz diagonal, o determinante dessa nova matriz será:
a) 80
b) 15
c) 0
d) 5
Ver solução completaa) 80
b) 15
c) 0
d) 5
Questão 80
Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no plano cujas coordenadas satisfazem as seguintes inequações e/ou conjunto de inequações ou equações:
;
Ver solução completaQuestão 81
Verifique se a afirmação é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
© Se
e
são LI, então
é LI.
Ver solução completa© Se
Questão 82
Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:
Ver solução completaQuestão 83
Pretendendo comprar um novo brinquedo, um garoto consegue juntar, entre moedas de
e
0,50 , um total de 500 moedas, perfazendo uma quantia de
. Podemos dizer que o garoto juntou quantas moedas de
e de
, respectivamente:
a) 360 e 180
b) 320 e 200
c) 280 e 220
d) 240 e 240
e) 260 e 200
Ver solução completaa) 360 e 180
b) 320 e 200
c) 280 e 220
d) 240 e 240
e) 260 e 200
Questão 84
A reação do brometo de etila com o íon cianeto ocorre via SN2.
a) Escreva a equação de velocidade para a reação.
Ver solução completaa) Escreva a equação de velocidade para a reação.
Questão 85
Encontre vetores geradores para cada um dos subespaços descritos abaixo.
Ver solução completaQuestão 86
Resolva os sistemas abaixo e verifique se eles são possíveis (determinado ou indeterminado) ou impossíveis:
Ver solução completaQuestão 88
A reta
passa pelo ponto
e tem uma inclinação
. Determine uma equação da reta
que passa pelo ponto
e forma um ângulo de
com a reta
. resp.:
Ver solução completaQuestão 89
Dado o triângulo
situado em um plano
, encontre a verdadeira grandeza do triângulo no plano horizontal
, utilizando um plano de topo como auxiliar. Considere:
(A)
(B)
e
©
.
Ver solução completa(A)
(B)
©
Questão 90
Seja
um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto
é um subespaço de
.
Ver solução completaQuestão 91
Seja V o espaço vetorial das funções
. Mostre que W é um subespaço de V , nos seguintes casos:
, todas as funções cujo valor em 1 é 0 .
Ver solução completaQuestão 92
Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando: Se
é uma matriz tal que o sistema linear
tenha solução única para todo vetor-coluna
então
é invertível (em particular,
é quadrada).
Ver solução completaQuestão 93
) Dados os subespaços vetoriais do
ou
, determinar o conjunto gerador
e
e
.
Ver solução completae
Questão 94
Dada as retas
determinar.
*a) O ponto de interseção entre as retas
e
;
Ver solução completadeterminar.
*a) O ponto de interseção entre as retas
Questão 95
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
tal que
.
Ver solução completa(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
Questão 96
Considere as afirmativas abaixo:
- Se
diagonal e
com Ker
, então
é diagonalizável.
II - Se
possui como polinômio característico
e autovalor -7 com multiplicidade geométrica 19, então
não é diagonalizável.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
Ver solução completaII - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
Questão 98