Exercícios de Cálculo - Lista de Exercícios Resolvida
Questão 1
Uma certa substância radioativa decai exponencialmente de tal modo que, após 10 anos, ainda restam
da quantidade inicial. Obtenha uma expressão para a quantidade que ainda resta após um número
qualquer de anos. Que quantidade ainda restará após 50 anos? Qual a meia-vida? Quanto tempo é preciso para que reste somente
da quantidade inicial? E para que reste somente
?
Ver solução completaQuestão 2
Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:
Ver solução completaQuestão 3
x |
|
---|---|
1,000 | 5,000 |
1,500 | 6,500 |
1,900 | 7,700 |
1,990 | 7,970 |
1,999 | 7,997 |
2,001 | 8,003 |
2,010 | 8,030 |
2,100 | 8,300 |
2,250 | 8,750 |
Logo,
Ver solução completaQuestão 4
Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados:
Ver solução completaQuestão 5
Uma formiga, situada no ponto
quer se deslocar no plano xy na expectativa de se aquecer ao máximo. Sabendo que a temperatura no ponto
é
, dê um versor que indique a direção e o sentido do deslocamento mais favorável à intenção da formiga.
Ver solução completaQuestão 6
Verifique que as funções dadas satisfazem a equação de Laplace em dimensão
.
Ver solução completaQuestão 7
(Uem) Sabendo-se que
é raiz do polinômio
, assinale o que for correto.
Ver solução completaQuestão 8
O consumo mensal em minutos por conta de celular em uma região é uma variável aleatória normal com média 36 min e desvio padrão 12 min.
Qual o tempo máximo que alguém deve gastar ao telefone no mês para estar entre os
que menos usam o celular?
Ver solução completaQual o tempo máximo que alguém deve gastar ao telefone no mês para estar entre os
Questão 9
Determine a relação de equivalência
em
que determina o seguinte conjunto quociente (partição de
):
Ver solução completaQuestão 11
Encontre a expansão em série de Fourier da função periódica de período
.
Ver solução completaQuestão 12
Ache uma equação da mediatriz do segmento de reta com extremidades nos pontos
e
.
Ver solução completaQuestão 15
Utilizando a fatoração de polinômios, fatore os seguintes polinômios:
Ver solução completaQuestão 16
Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Ver solução completaQuestão 17
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(e)
,
Ver solução completa(e)
Questão 19
Calcule o volume gerado pelà rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
.
(2 pontos)
Ver solução completa(2 pontos)
Questão 20
Determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições condicionais:
a)
, então
.
Ver solução completaa)
Questão 22
Determine, usando o método da redução de ordem, uma outra solução da equação dada, que seja LI com a primeira.
.
Ver solução completaQuestão 23
Determine se a diferença simétrica é associativa, ou seja, se
e
são conjuntos, temos que
?
Ver solução completaQuestão 24
Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \frac{1}{x \sqrt{4 x+1}} d x
Ver solução completaQuestão 26
A temperatura num ponto
do espaço é dada por
. Determine os pontos da esfera
onde a temperatura é mais alta e onde é mais baixa. Justifique.
Ver solução completaQuestão 27
Ache o volume da elipsóide gerada pela rotação da elipse
em torno do eixo
.
Ver solução completaQuestão 28
Esboce o gráfico e determine as séries de fourier das seguintes funções.
, com
Ver solução completaQuestão 29
Esboce (qualitativamente) os gráficos das soluções
da EDO
para as seguintes condiçōes iniciais:(b)
Ver solução completaQuestão 30
Nos itens abaixo, represente o conjunto
que satisfazem a desigualdade dada.
Ver solução completaQuestão 33
Use o teorema de Bolzano-Weierstrass para concluir que a sequência abaixo converge
Calcule o limite dessa sequência.
Ver solução completaQuestão 34
Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem, homogeneidade e a linearidade.
Ver solução completaQuestão 35
Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.
Ver solução completaQuestão 36
Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada completa ou um prato à base de carne.
dos fregueses do sexo masculino preferem salada;
das mulheres escolhem carne;
dos fregueses são homens. Sabendo que determinada pessoa olhando o cardápio deste restaurante escolheu a carne, qual a probabilidade dessa pessoa ser mulher?
Ver solução completaQuestão 38
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os para
tais que
i)
e
.
Ver solução completai)
Questão 40
Seja
com zero no intervalo
. Utilize o método da posição falsa para encontrar a aproximação da raiz de
, com precisão de
.
Ver solução completaQuestão 42
Explique o porquê que a função
não possui transformada de Laplace. Dê exemplo de uma função
tal que
tenha transformada de Laplace. Existe alguma função
, que possua transformada de Laplace, com esta mesma propriedade?
Ver solução completaQuestão 44
Determine o ponto da reta interseção dos planos
e
mais próximo da origem.
Ver solução completaQuestão 45
Calcule as integrais, para as regiões
indicadas.
, onde
é limitada por
e
.
Ver solução completaQuestão 46
Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
.
Ver solução completaQuestão 48
Verifique que a série
é uniformemente convergente em
. Você pode aplicar o Critério
de Weierstrass, mas tome cuidado para aplicá-lo corretamente.
Ver solução completaQuestão 49
Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Ver solução completaQuestão 50
Uma equação que modela o crescimento populacional é a equação de Gompertz,
onde r e K são constantes positivas. Resolva a equação de Gompertz sujeita a condição inicial
.
Ver solução completaQuestão 52
Considerando as funções
definidas abaixo, decida se são injetoras, sobrejetoras, bijetoras.
Ver solução completaQuestão 53
Utilize a integral dupla para determinar a área da região de uma laço da rosácea
.
Ver solução completaQuestão 54
Uma partícula desloca-se sobre o eixo
com velocidade
. Sabendo-se que, no instante
, a partícula encontra-se na posição
, determine a posição da partícula no instante
.
Ver solução completaQuestão 55
O movimento harmônico simples (MHS) é um movimento periódico que acontece exclusivamente em sistemas conservativos. No MHS, uma força restauradora atua sobre o corpo de modo a fazê-lo voltar sempre a uma posição de equilíbrio. A descrição do MHS é feita com base nas grandezas frequência e período, por meio de funções horárias do movimento. Um ponto móvel sobre uma reta descreve um MHS e tem abscissa s dada em cada instante t pela lei
em que
e
são números reais dados. Determine: d) a aceleração no instante
.
Ver solução completaQuestão 56
É dado um campo com a forma de um segmento circular de base
pu e sagitta(altura)
pu, qual é a área? (Um pu é o dobro de um passo. Os chineses utilizavam a aproximação para a área do segmento circular
. Utilize esta aproximação neste cálculo e considere a unidade de medida de área pu quadrados).
Ver solução completaQuestão 57
Determine se a EDO dada é exata. Em caso afirmativo, encontre a solução.
Ver solução completaQuestão 58
Numa progressão aritmética crescente, os dois termos são raízes da equação
8. Sabendo que o número de termos dessa PA é igual ao triplo da sua razão, calcule a soma dos termos da PA. (2,25 valores)
Ver solução completaQuestão 59
Leia com atenção as afirmações:
(I) A expansão em série de Taylor de
, em torno de
, é
;
(II) A série de potências
converge apenas para
;
(III) A expansão de
, em torno do zero, é
.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
Ver solução completa(I) A expansão em série de Taylor de
(II) A série de potências
(III) A expansão de
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
Questão 60
Prove que a multiplicação de um vetor por um escalar não depende da escolha particular de um segmento orientado que represente o vetor.
Ver solução completaQuestão 61
(2,5 pontos) Esboce a região limitada pela parábola
, pela reta tangente a esta parábola em
e pela reta
, e calcule sua área.
Dado: a reta tangente a
em
é a reta
.
Ver solução completaDado: a reta tangente a
Questão 62
Diferentemente dos problemas de valor inicial (PVI), nos quais são dados
e
, nos problemas de valor de contorno (PVC) são dados
e
, sendo
. Para se resolver um PVC procedemos como no caso de um PVI: após encontrar a solução geral da EDO em termos de constantes arbitrárias
e
, utilizamos as condições dadas para determinar
e
. Considerando a EDO
, reponda:
a) Utilizando o teorema de existência e unicidade enunciado no exercício 5 , em quais pontos
do plano ty podemos garantir a existência e unicidade de soluções?
b) Se tivermos as condições de contorno
,
, qual a solução do PVC associado à EDO dada?
c) Se tivermos as condições de contorno
,
, qual a solução do PVC associado à EDO dada?
d) Se tivermos as condições de contorno
,
, qual a solução do PVC associado à EDO dada?
e) As respostas dos itens (b)-(d) contrariam as conclusões do item (a)? Esclareça.
Ver solução completaa) Utilizando o teorema de existência e unicidade enunciado no exercício 5 , em quais pontos
b) Se tivermos as condições de contorno
c) Se tivermos as condições de contorno
d) Se tivermos as condições de contorno
e) As respostas dos itens (b)-(d) contrariam as conclusões do item (a)? Esclareça.
Questão 63
Verifique se as funções abaixo são contínuas por pedaços e se forem calcule
para
a)
Ver solução completaa)
Questão 64
Considere a curva
que está na interseç̧ão do cone
e o plano
. Esboce e identifique o traço de
e obtenha sua equação vetorial.
Ver solução completaQuestão 65
Determine os valores de
para os quais a função
é uma solução da equação diferencial
.
Ver solução completaQuestão 67
Mostre que
e
são linearmente independentes em
. Mostre, também, que
é zero em
. O que você pode concluir sobre a possibilidade de
e
serem soluções de uma equação diferencial da forma
? Verifique que
e
são soluções da equação
. Isso contradiz sua conclusão? O comportamento do wronskiano de
e
contradiz o Teorema de Abel?
Ver solução completaQuestão 68
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(m)
e
.
Ver solução completa(m)
Questão 70
Dadas as equações diferenciais ordinárias, determine sua ordem, grau e linearidade.
b)
Ver solução completab)
Questão 75
O tubo de Bourdon é um sensor mecânico de pressão. Como ele pode ser combinado com outros componentes para formar um sistema de medição de pressão no qual sua saída seja um sinal de tensão? Esboce um setup experimental possível, faça a sua representação através de seus elementos funcionais e explique o seu funcionamento.
Ver solução completaQuestão 77
Uma cisterna está sendo esvaziada para limpeza. A quantidade de água na cisterna, em litros,
horas após o escoamento é dada por
. Determinar:
c) A quantidade de água que sai da cisterna nas 5 primeiras horas.
Ver solução completac) A quantidade de água que sai da cisterna nas 5 primeiras horas.
Questão 78
Prove que
é ponto de aderência de uma sequiência
se e somente se, qualquer que seja
, existem infinitos elementos da scquiiência no intervalo
. (Note que esta última afirmação não significa que os infinitos elementos sejam todos distintos, podem até ter todos o mesmo valor.)
Ver solução completaQuestão 80
Determine as integrais a seguir, usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Ver solução completaQuestão 81
Utilize as regras de derivação para calcular as funções derivadas das seguintes funções:
Ver solução completaQuestão 82
Seja
a região compreendida entre as curvas
e
, com
. Expresse o volume do sólido
, obtido rotacionando a região
em torno do eixo
, em termos de uma integral e calcule.
Ver solução completaQuestão 83
Da experiência passada sabe-se que o desvio padrão da altura de crianças de quinta série do primeiro grau é
. Tomando-se uma amostra de 36 dessas crianças, observou-se média de
.
(a) Qual o percentual de crianças com altura média acima de
?
Ver solução completa(a) Qual o percentual de crianças com altura média acima de
Questão 84
Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de suporte siga uma distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão de 2 minutos.
Qual o tempo necessário para que pelo menos
das chamadas sejam atendidas?
Ver solução completaQual o tempo necessário para que pelo menos
Questão 86
Observe que o domínio da função soma é a intersecção dos domínios de
e
, pois para somar precisamos calcular
e
.
Por exemplo, se
e
são dadas por
então
, para todo
.
De maneira análoga definimos subtração, produto e quociente de duas funções. Neste último caso é importante excluir do domínio os pontos que anulam o denominador.
Para
e
como acima, determine a expressão e domínio de
6a)
Ver solução completaPor exemplo, se
De maneira análoga definimos subtração, produto e quociente de duas funções. Neste último caso é importante excluir do domínio os pontos que anulam o denominador.
Para
6a)
Questão 87
Calcule a área da região entre as curvas (dadas na forma paramétrica):
Ver solução completaQuestão 88
(Uma editora estima que o custo para imprimir 1.000 a 10.000 exemplares de certo livro didático é R
por exemplar; para imprimir 10.001 a 20.000 exemplares, o custo é R
por exemplar; para imprimir 20.001 a 50.000 exemplares, o custo é
por exemplar.)
(a) Determine uma função
que expresse o custo de impressão de
exemplares do livro para
.
Ver solução completa(a) Determine uma função
Questão 91
Em cada caso abaixo, determine se
é ou não um campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
.
Ver solução completaQuestão 93
Nos Problemas 31-34 encontre uma solução explícita do problema de valor inicial. Determine o intervalo exato de definição
por métodos analíticos. Use um software gráfico para gerar o gráfico da solução.
Ver solução completaQuestão 94
Resolva no caderno as seguintes equaçōes exponenciais na variàvel
:
a)
Ver solução completaa)
Questão 95
Um vendedor de planos de saúde recebe de salário
mais uma comissão de
por plano vendido.
Sabendo que seu salário em um mês foi de
qual a quantidade de planos vendidos?
Ver solução completaSabendo que seu salário em um mês foi de
Questão 97
Um saco contém três moedas, 2 honestas e 1 viciada (com duas caras). Escolhe-se aleatoriamente uma moeda do saco e efetua-se três lançamentos sucessivos com a mesma moeda.
Calcule a probabilidade de que ocorra mais coroas do que caras.
Sugestão: use uma árvore de possibilidades para descrever o experimento.
Ver solução completaCalcule a probabilidade de que ocorra mais coroas do que caras.
Sugestão: use uma árvore de possibilidades para descrever o experimento.