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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

Passo 1

Vamos começar! Esse recurso de utilizar a substituição x = y n serve para tirar nossa variável das raízes. Então qual n devemos usar?

Temos uma raiz quarta e uma raiz quadrada, então nosso n deve ser 4.

x = y 4

Passo 2

Escolhida a nossa substituição, vamos calcular a derivada

x = y 4

d x = 4 y 3 d y

E aplicar a substituição na integral

∫ d x x 4 + x = ∫ 4 y 3 y 4 4 + y 4 d y

∫ d x x 4 + x = ∫ 4 y 3 y + y 2 d y

Podemos manipular um pouco melhor nossa integral

∫ d x x 4 + x = 4 ∫ y 3 y 1 + y d y

∫ d x x 4 + x = 4 ∫ y 2 1 + y d y

Passo 3

Agora nos resta resolver a integral

4 ∫ y 2 1 + y d y

Para isso podemos usar o método da substituição

u = 1 + y

y 2 = u - 1 2

d u = d y

Aplicando na integral ficamos com

4 ∫ y 2 1 + y d y = 4 ∫ u - 1 2 u d u

= 4 ∫ u 2 - 2 u + 1 u d u

= 4 ∫ u 2 u d u - 2 ∫ u u d u + ∫ 1 u d u

= 4 ∫ u d u - 2 ∫ d u + ∫ 1 u d u

= 4 u 2 2 - 2 u + ln ⁡ u

= 2 u 2 - 8 u + 4 ln ⁡ u + C

Desfazendo a substituição

u = 1 + y

4 ∫ y 2 1 + y d y = 2 1 + y 2 - 8 1 + y + 4 ln ⁡ 1 + y + C

Passo 4

Beleza! Resolvemos a integral! Mas não podemos esquece que nossa variável inicial é x e não y .

Vamos rearranjar um pouco nosso resultado e desfazer a substituição

4 ∫ y 2 1 + y d y = 2 1 + 2 y + y 2 - 8 - 8 y + 4 ln ⁡ 1 + y + C

= 2 + 4 y + 2 y 2 - 8 - 8 y + 4 ln ⁡ 1 + y + C

= 2 y 2 - 4 y - 6 + ln ⁡ 1 + y + C

Esse - 6 pode ir fazer parte da nossa constante

∫ 4 ∫ y 2 1 + y d y = 2 y 2 - 4 y + ln ⁡ 1 + y + C

∫ d x x 4 + x = 4 ∫ y 2 1 + y d y

∫ d x x 4 + x = 2 y 2 - 4 y + ln ⁡ 1 + y + C

Agora vamos desfazer a nossa substituição

x = y 4

y 2 = x

y = x 4

∫ d x x 4 + x = 2 x - 4 x 4 + 4 ln ⁡ 1 + x 4 + C

Fim!

Resposta

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