UFABC. Cálculo. Funções de Uma Variável. Lista 10 – Técnicas de Integração II. 2018.3. Questão 2d.
2 - Usando a técnica do exercício anterior calcule:
d) .
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Para essa questão, temos que calcular a integral
Mas como a questão foi bondosa, nos deu um método que vamos usar para facilitar os cálculos. Este método consiste em escrevermos o produto de e como
Assim, escrevemos nossa função como
Calculando a distributiva de e fazendo as operações dentro dos senos, temos
Percebeu a diferença??
O que antes era uma integral difícil e não trivial, agora se transformou em duas integrais que já conhecemos.
Viu como agora ficou mais simples? Vamos calcular essas integrais!
Passo 2
Vamos calcular uma de cada vez. Primeiro vamos calcular a integral
Podemos tirar a constante para fora da integral, resultando em
Quando temos uma integral de uma função trigonométrica onde a função que está contida dentro dessa função trigonométrica for diferente da variável de integração, temos que usar o método de substituição .
No caso a variável de integração é e a função contida dentro de é .
A gente substitui essa função por e calculamos como
Isolamos em um lado da equação
O próximo passo é substituir por e por , com isso, temos
A constante pode sair da integração, assim como fizemos com anteriormente.
Com tudo isso, a integral que temos que calcular é a integral do que sabemos que é igual a , ou seja
Agora devolvemos a variável ao resultado substituindo por
Entendeu?
Passo 3
O próximo passo é calcular a segunda integral dada por
Assim como a integral anterior, podemos pôr a constante para fora e substituir a função contida em por .
Se , então calculando temos
Isolando em um lado da equação, temos
Substituindo por e por , temos
Assim como tiramos , vamos por para fora da integral
No fim, a integral que vamos calcular é a integral do que já vimos que é igual a , ou seja
Devolvemos a variável ao resultado substituindo por
Interessante, não?
Passo 4
Para finalizar, substituímos os resultados que encontramos na nossa integral inicial, lembra dela?
Perceba que podemos usar esse resultado como solução geral quando e forem constantes.
Lembre-se da nossa receitinha quando temos que usar o método de substituição
1°: substituímos a função que está contida dentro da outra função por .
2°: calculamos e isolamos de um lado da igualdade.
3°: substituímos e , calculamos a integral.
4°: depois da integral calculada, substituímos pela função inicial.
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
