Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Ver Teoria
Exercício 831234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818284858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 5a

Calcule a integral por frações parciais:

∫   1 x 2 - 9 d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão tem como objetivo treinar técnicas de integração por partes. Temos que calcular a integral de ∫   1 x 2 - 9 d x

Vamos nessa!!!

Passo 2

Nosso objetivo é calcular ∫   1 x 2 - 9 d x .Como podemos começar? O que vocês acham?

Vamos lembrar que x 2   -   9   =   ( x + 3 ) ( x - 3 ) . Será que podemos reescrever a nossa integral da seguinte forma?

∫   1 x 2 - 9 d x   =   ∫   A x + 3 d x   +     ∫   B x - 3 d x

Podemos sim!!! Vamos obter esse A   e   B

Passo 3

Queremos que:

1 x 2 - 9 = A x + 3   + B x - 3  

então

1 x 2 - 9 = A ( x - 3 ) ( x + 3 ) ( x - 3 )   + B ( x + 3 ) ( x - 3 ) ( x + 3 )  

desenvolvendo

1   =   A x   -   3 A   +   B x   +   3 B

Bem, aqui temos uma igualdade de polinômios em x isso quer dizer que os termos que têm x de um lado precisam ser iguais aos que tem x do outro lado da igualdade. Com isso temos:

A x   +   B x   =   0 ⇒ A   +   B   =   0

- 3 A + 3 B   =   1

Ou seja, temos um sistema de equações em A   e   B . Vamos resolver!!!

A   + B = 0

- 3 A + 3 B   =   1

Da primeira equação obtemos:

A = - B

Substituindo na segunda equação temos:

- 3 ( - B ) + 3 B   =   1

⇒ 3 B + 3 B   =   1

⇒ B   =   1 / 6

⇒ A   =   - 1 / 6

Agora que temos A   e   B podemos reescrever nossa integral!!!

Passo 4

Usando os valores de calculados no passo anterior temos:

∫   1 x 2 - 9 d x   =   ∫   - 1 / 6 x + 3 +   1 / 6 x - 3 d x

= ∫   - 1 / 6 x + 3 d x + ∫   1 / 6 x - 3 d x

mas essas integrais são conhecidas, é o famoso ln!!! Então:

∫   1 x 2 - 9 d x   =   - 1 6 l n ( x + 3 )   +   1 6 l n ( x - 3 )   +   k

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

∫   1 x 2 - 9 d x   =   - 1 6 l n ( x + 3 )   +   1 6 l n ( x - 3 )   +   k

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais ∫ 8 x 2 + 8 x + 2 4 x 2 + 1 2d x
Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais ∫ y 2 + 2 y + 1 y 2 + 1 2d y
Calcule.int (4)/(x^3 - x^2 - 2 x) d x
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral. ∫ s e n ( x ) cos 2 ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x
Calcule a integralint (1)/((x - 2) (x^2 + 4)) d x