UFPE - Cálculo 1 - Prova Final 2021.2 - Questão 4a
Calcule as seguintes integrais:
a)
Passo 1
Olá, xuxus! Tudo bem aí? Espero que sua semana esteja sendo leve assim como será a resolução dessa questão, bora lá?!
Bom, temos que encontrar o valor da seguinte integral indefinida:
Ok! Eu sei que isso foi o que vocês leram da questão, temos que aprofundar. O primeiro ponto que temos que saber o porque essa integral é indefinida, e aí?
Essa integral é indefinida porque não há limites de integração, então a resposta que vamos encontrar para ela não é bem um valor numérico e sim uma função!
O segundo ponto que devemos ter antes de iniciar a resolução dessa questão é tentar imaginar uma estratégia para resolver essa integral. O que vocês fariam inicialmente?
Achooo super legal quando começamos já tentando simplificar a equação ou quem sabe “quebra-lá” para tornar mais simples a resolução.
Passo 2
Meus amores, creio que vocês já tentaram simplificar essa expressão. Quem sabe até tentaram dividir os polinômios. Bom, particurlarmente por aqui não deu em nada e aí? Hahaha
Então, vamos ter que utilizar as famosas frações parciais!
O intuito das frações parciais é justamente tentar tornar o quociente de dois polinômios em uma soma de frações mais simples. Belezinha??
Assim,
Vamos utilizar agora a quebra do denominador para obtermos a nossa soma de frações.
Agora vamos comparar os numeradores
Passo 3
Como precisamos descobrir os valores dos termos , vamos atribuir um valor para .
Para :
Em seguida, vamos expandir o polinômio e substituir .
Agrupando os termos de mesmo grau, obtemos que
Logo,
Concluímos que
Passo 4
Poderemos reescrever então as nossas frações parciais como,
Maravilha! Agora podemos resolver a integral.
Bom, é fundamental estarmos lembrando de algumas integrais clássicas para conseguirmos finalizar essa questão.
Vamos fazer devagarinho...
Primeiro vamos encontrar o valor da integral :
Bom, utilizando a tabelinha de integrais encontramos que . Portanto,
Passo 5
Agora vamos encontrar o valor de :
Precisaremos utilizar a técnica da substituição para facilitar nossos cálculos.
Chamando,
Substituindo :
Logo,
Como :
Consequentemente,
Passo 6
Depois de tantas reviravoltas e cálculos... Encontramos que
Essa questão não foi realmente mamão com açúcar. Necessitou que tivéssemos diversas estratégias para chegarmos a onde desejávamos. Só nessa questão vimos a técnica de frações parciais e a técnica de substituição. Além de termos que estar com a memória boa para lembrar de algumas integrais conhecidas. Por isso a prática de exercícios é fundamental!