1.4 Seja uma função tal que e . Determine o valor de .
Passo 1
Olá, pessoal! Tudo bom? Embora esteja camuflada, esta é uma questão de integral. Mas relaxa que vamos desbravar ela.
O problema pede para a gente calcular o valor de uma uma função em um determinado ponto
E nós não sabemos quem é essa função. Mas sabemos a derivada dela,
Opaaa! Para quem não lembra, o “contrario” da derivada é a integral. Então integrando a nossa derivada, encontramos a nossa . Temos isso aqui:
Bora lá!
Passo 2
A nossa integral para encontrar a fica assim:
Repara que temos um grau maior no numerador do que no denominador. Além disso, fatorando o nosso denominador, podemos escrevê-lo assim:
Opaaa! Esses dois sinais é um indicativo que para resolver essa integral, podemos utilizar o método de frações parciais.
Passo 3
Para resolver uma integral por frações parciais, a gente começa escrevendo a função como um somatório de frações
Agora precisamos encontrar quem é e . Então vamos somar essas frações e comparar com a equação original,
Comparando com a equação original,
Podemos separar os termos que acompanham do que está isolados e montar o seguinte sistema
Resolvendo o sistema ficamos com e .
Opaaa! Agora temos que
Vamos reescrever a nossa integral!
Passo 4
Tinhamos a seguinte integral,
Para facilitar o nosso calculo, vamos separar em duas integrais
A gente consegue resolver cada integral dessas por substituição simples e chegaremos a este resultado:
Logo,
Onde, que é a nossa constante de integração. E para achar o nosso precisamos saber quem é .
Passo 5
Para encontrar , vamos usar essa informação dada pelo enunciado
Logo,
Isolando ,
Sendo , com isso,
Opaa! Já sabemos quem é .
Passo 6
Nossa ficou assim,
Logo,
Fim!