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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

  1. Calcule a integral

∫ 2 x 4 + 2 x 2 d x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um integral indefinida para resolver.

∫ 2 x 4 + 2 x 2 d x

A integral parece ser complicada de resolver assim, mas repara que podemos mexer nessa função e torna-la uma integral mais simples de resolver.

Começamos tirando o 2 da integral já que ele é uma constante,

∫ 2 x 4 + 2 x 2 d x = 2 ∫ 1 x 4 + 2 x 2 d x

Agora expandimos a função,

1 x 4 + 2 x 2 = 1 x 2 x 2 + 2

Logo, a nossa integral ficará assim,

∫ 2 x 4 + 2 x 2 d x = 2 ∫ 1 x 2 x 2 + 2 d x

Agora bora aplicar!

Passo 2

Então, galerinha, agora temos essa integral aqui para resolver:

∫ 1 x 2 x 2 + 2 d x

Repara que no nosso denominador temos um produto de dois polinômios do segundo grau. Adica aqui é usar o método de frações parciais, para transformarmos essa integral em um somatória de integral mais simples.

Então vamos escrever a nossa função assim:

1 x 2 x 2 + 2 = A x 2 + B x 2 + 2

Fazendo o somatório, ficamos com

A x 2 + B x 2 + 2 = A x 2 + 2 + B x 2 x 2 x 2 + 2 = A + B x 2 + 2 A x 2 x 2 + 2

Logo,

1 x 2 x 2 + 2 = A + B x 2 + 2 A x 2 x 2 + 2

Comparando os 2 numeradores, podemos montar o seguinte sistema

A + B = 0 2 A = 1

Logo,

A = 1 2

E

B = - 1 2

Com isso a nossa função fica assim:

1 x 2 x 2 + 2 = A x 2 + B x 2 + 2 = 1 2 x 2 - 1 2 x 2 + 2 = 1 2 1 x 2 - 1 x 2 + 2

Agora podemos escrever a nossa integral assim:

2 ∫ 1 x 2 x 2 + 2 d x = 2 1 2 ∫ 1 x 2 d x - ∫ 1 x 2 + 2 d x

Simplificando,

= ∫ 1 x 2 d x - ∫ 1 x 2 + 2 d x

Agora vamos resolver uma integral de cada vez!

Passo 3

Começando por,

∫ 1 x 2 d x

Vamos aplicar a regra do polinimio,

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C 1

Note que n = - 2 . Logo,

∫ x - 2 d x = x - 2 + 1 - 2 + 1 + C 1 = - 1 x + C 1  

Passo 4

Já para a segunda integral,

∫ 1 x 2 + 2 d x

Temos que lembrar da cara da derivada da função da arcotangente, que é:

arctan ⁡ u ' = u ' u 2 + 1

Logo, temos que,

∫ 1 x 2 + 2 d x = 1 2 arctan ⁡ x 2 + C 2

Passo 5

Por fim, juntando tudo, ficamos com

∫ 2 x 4 + 2 x 2 d x = ∫ 1 x 2 d x - ∫ 1 x 2 + 2 d x

Resolvendo,

∫ 2 x 4 + 2 x 2 d x = - 1 x - 1 2 arctan ⁡ x 2 + C

= - 1 x + 1 2 arctan ⁡ x 2 + C

Onde C é a nossa constante de integração.

Resposta

- 1 x + 1 2 arctan ⁡ x 2 + C

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