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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

Integração por Frações Parciais

Calcule as seguintes integrais:

c   ∫ 1 x 2 + x 4 d x

Passo 1

Pode até haver algum outro jeito de resolver esse cara, mas eu só enxergo ali uma divisão de polinômios. Nesse caso, vou tentar abrir o termo do denominador em termos irredutíveis do primeiro ou segundo grau para, assim, usar o método das frações parciais:

x 2 + x 4 = ( x ) 2 1 + x 2

Vamos aplicar agora as frações:

1 x 2 + x 4 = A x + B x 2 + C x + D 1 + x 2

1 x 2 + x 4 = A x 1 + x 2 + B 1 + x 2 + x 2 C x + D x 2 + x 4

0 x 3 + 0 x 2 + 0 x + 1 x 2 + x 4 = A + C x 3 + B + D x 2 + A x + B x 2 + x 4

Vamos igualar as potências de mesmo expoente do x e resolver o sistema:

A + C = 0 B + D = 0 A = 0 B = 1

A = 0   ; B = 1 ; C = 0 ; D = - 1

Passo 2

Assim, ficamos com:

1 x 2 + x 4 = 1 x 2 + - 1 1 + x 2

Vamos integrar agora:

∫ 1 x 2 + x 4 d x = ∫ 1 x 2 d x - ∫ 1 1 + x 2 d x

= - 1 x - arctg ⁡ x + C

Resposta

  ∫ 1 x 2 + x 4 d x = - 1 x - arctg ⁡ x + C

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