UFABC. Cálculo. Funções de Uma Variável. Lista 10 – Técnicas de Integração II. 2018.3. Questão 2b.
2 - Usando a técnica do exercício anterior calcule:
b) .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Essa questão foi bem direta com a gente, temos que calcular a integral de usando uma propriedade de trigonometria.
Essa propriedade nos diz o seguinte: quando temos um produto entre e , podemos escreve-la como
Mas você pode pensar: “se é a mesma coisa, pra que fazemos isso??” 🤔🤔
Lembre-se que temos que calcular a integral de , ou seja
Se substituirmos por essa propriedade, temos
Fazendo a distributiva e as operações no seno e cosseno temos
Com isso essa propriedade nos ajuda muito, já que
E as integrais de seno e cosseno são conhecidas entre nós.
Tranquilo? Bora calcular!
Passo 2
Primeiro vamos calcular a integral
A constante pode sair da integral, com isso temos
Quando temos uma função contida em outra, usamos o método de substituição este método consiste em substituir pela função interna e calcular sua derivada , veja só
Nesse caso , logo
Isolando em um lado da equação, temos
Agora substituímos por e por .
Tirando o para fora da integral, temos
Sabemos que a integral do é igual a mais a constante de integração, ou seja
Por último, substituímos por de volta, assim, temos
Bacana, não é?
Passo 3
O próximo passo é calcular a integral
Observe que temos um caso muito parecido com o anterior, então vamos seguir praticamente os mesmos passos
Tiramos pra fora da integral e consideramos . Calculando , temos
Isolando em um lado da igualdade
Substituindo por e por , temos
Podemos tirar o para fora da integral
Como vimos antes, a integral de é igual a mais a constante de integração
Organizando o resultado e substituindo por novamente, temos
Algum estresse?
Passo 4
Substituindo os resultados da integral inicial onde
Temos
Lembre-se da nossa receitinha quando temos que usar o método de substituição
1°: substituímos a função que está contida dentro da outra função por .
2°: calculamos e isolamos de um lado da igualdade.
3°: substituímos e , calculamos a integral.
4°: depois da integral calculada, substituímos pela função inicial.
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
