Integração por Frações Parciais
Calcule:
Passo 1
Integral com uma divisão de polinômios tão característica assim é a chamada para tentar resolver por frações parciais. Vamos abrir o termo do denominador da melhor maneira possível:
É estranho, mas não dá para abrir mais que isso, o é um termo irredutível do segundo grau (ou seja, não tem raízes). Vamos abrir o termo por frações parciais então:
Vamos resolver o sistema com as igualdades dos termos de cada lado com mesmo grau de :
Passo 2
Voltando para integral agora:
A primeira integral vai virar :
Para a segunda, podemos fazer uma substituição com o denominador:
A terceira vai dar um pouco mais de trabalho...
Passo 3
A resolução desse terceiro termo precisa de um pouco de abstração.
Se você não conseguiu fazer, não se sinta nem um pouco mal, é uma jogada bem difícil de se pensar sem conhecer a primeira vez.
Vou fazer aquilo que nós chamamos de completar quadrado. Imagina essa situação aqui abaixo:
Vou fazer isso com o denominador, olha aqui:
Eu sei que ainda não deve estar claro o que eu estou fazendo, mas confia:
Vou dividir agora tudo (em cima e embaixo) pelo que eu tinha chamado de , esse que sobrou aí:
Agora eu vou pegar esse termo e chamar de uma variável auxiliar :
Assim, vai ficar:
E essa é a integral do arco-tangente! E assim, num passe de mágica:
Passo 4
Vamos agrupar as três integrais que calculamos agora: