Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado nos pede para calcularmos uma integral indefinida. Ou seja, o resultado deve ser uma família de funções (Não esquecer da constante )!
Olhando para a integral, vemos uma função logarítmica () e uma polinomial (). Quando isso acontece, é interessante usar o método da integração por partes. Vamos lá!
Passo 2
1. Chamar uma parte da integral de e outra de . Devemos escolher na seguinte ordem: função logarítmica () > função inversa () > função polinomial () > função trigonométrica (, , , ...) > função exponencial ().
2. Calcular derivando . E calcular integrando .
3. Fazer
4. Verificar se a integral é possível de calcular. Se não, volte para o passo 1 e tente outro e .
A integral é uma divisão de polinômios, ou seja, pode ser calculada pelo método das frações parciais. Vamos aplicar o método para calculá-la.
Passo 3
1. Se o numerador tiver grau maior ou igual ao denominador, divida o numerador pelo denominador.
O grau do numerador é menor do que o grau do denominador .
2. Fatore o denominador para ele ficar na forma de um produto de termos.
3. Desmembre a função racional em frações parciais com constantes nos numeradores.
4. Faça o MMC, iguale os numeradores e agrupe as constantes.
Passo 4
5. Resolva o sistema para achar as constantes.
De
Substituindo em
E voltando em
Temos:
6. Substitua as constantes e prepare para integrar.
Passo 5
7. Calcular as integrais
Vamos calcular cada integral separadamente:
Completando o quadrado:
Fazendo a seguinte substituição:
Aplicando:
Vamos fazer a seguinte substituição para a primeira integral:
Aplicando:
Calculando , vamos fazer de forma similar à integral anterior:
Calculando :
Passo 6
Por fim:
OBS: se você acertou esse exercício, parabéns! Grandes chances de você mandar bem na prova. Se não acertou, tente fazer de novo sem olhar. Esse problema é gigante, mas é só seguir os passos com calma e ir resolvendo as integrais conforme forem aparecendo. Acaba sendo muito útil chamar as diversas integrais de , etc e calculá-las separadamente. Isso vai te ajudar a se organizar. Vamo que vamo!