Calcule as integrais indefinidas abaixo

39 .   ∫ 3 x 2 + 4 x + 5 ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ 3 x 2 + 4 x + 5 ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) d x

Mas como resolver ela?

Quando temos uma razão de polinômios e o grau do denominador é maior do que o grau do numerador usamos a técnica de: frações parciais!

Depois de separar em frações menores aí sim vamos integrar!

Beleza?

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar separando em denominadores cujos fatores são os do denominador

3 x 2 + 4 x + 5 x - 1 x - 2 x - 3 = A x - 1 + B x - 2 + C x - 3

E agora vamos fazer o m m c

= A x - 2 x - 3 + B x - 1 x - 3 + C ( x - 1 ) ( x - 2 ) x - 1 x - 2 x - 3

Fazendo os produtos notáveis e organizando os termos de mesmo grau temos

x 2 A + B + C + x - 5 A - 4 B - 3 C + ( 6 A + 3 B + 2 C ) x - 1 x - 2 x - 3

Beleza?

Agora é só igualar os coeficientes dos termos de mesma ordem! Ficamos com um sistema triplo:

= A + B + C = 3 - 5 A - 4 B - 3 C = 4 6 A + 3 B + 2 C = 5

A , B , C :

A = 6

B = - 25

C = + 22

E nossa integral vira três!

∫ 3 x 2 + 4 x + 5 ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) d x = 6 ∫ d x x - 1 - 25 ∫ d x x - 2 + 22 ∫ d x x - 3

Passo 3

Agora vamos integrar!

6 ∫ d x x - 1 - 25 ∫ d x x - 2 + 22 ∫ d x x - 3

= 6 ln ⁡ | x - 1 | - 25 ln ⁡ x - 2 + 22 ln ⁡ x - 3 + C

Não esquece de colocar o + C no final!

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

6 ln ⁡ | x - 1 | - 25 ln ⁡ x - 2 + 22 ln ⁡ x - 3 + C

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