Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Olha, temos uma divisão entre dois polinômios. Um NÃO é derivada do outro. Sabe o que essas coisas querem dizer? Vamos ter que usar frações parciais. Respira e vem comigo!
Para começar a usar frações parciais a gente precisa ter uma fração onde o grau do numerador é menor do que o grau do denominador. Isso não acontece ali. Vamos ter que fazer acontecer!
Aí a gente segue um metodozinho para fazermos isso. Primeiro a gente divide o termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador:
Depois a gente multiplica isso pelo denominador:
E então, a gente subtrai isso do numerador:
Aí a gente reescreve nossa fração usando e , desse jeitinho:
Agora sim o grau do numerador na fração está menor que o grau do denominador. Bora começar a usar as frações parciais!
Passo 2
Nossa integral está assim agora:
Vamos reescrever esse denominador como um produto de polinômios. Podemos começar isolando :
Esse termo do segundo grau é irredutível, isso quer dizer que ele não pode ser reescrito como um produto de polinômios de grau 1. Uma forma de ver isso é ver que a equação não tem solução real.
Então o melhor que a gente pode fazer é escrever nossa fração assim:
Passo 3
Aí a nossa integral fica assim:
Usar frações parciais é fazer esse integrando virar uma soma de funções tranquilas de integrar assim:
Repara que a expressão acima de é só , porque ele é um termo de grau 1, mas a expressão acima de é , isso porque esse termo é um polinômio de grau , então a gente precisa colocar no numerador dele um polinômio completinho de grau 1.
Vamos então descobrir , e , igualando a fração antiga com a nossa nova soma de frações. Partindo daqui:
Passo 4
A gente multiplica esse termo pelo denominador do outro termo. Aí faz o mesmo para :
Fazendo a distributiva:
Agora a gente faz um sisteminha. Temos o termo sozinho (sem ) do lado esquerdo, e do lado direito temos o . Podemos igualar esses dois caras:
Fazendo o mesmo só para os termos multiplicados por em cada lado:
Do lado esquerdo não temos termos multiplicados por , então a gente coloca um para representar. Já no lado direito temos e . Aí a igualando:
Como vimos que :
Como todas essas letrinhas achadas finalmente, a gente reescreve nossa integral:
Passo 5
Agora a gente resolve essa bonita:
Essas duas primeiras integrais têm primitivas diretas. E a última a gente pode reescrever assim:
A última tem como primitiva o . Aí ficamos assim:
Falta só resolver essa integral bonita que ficou ali, né?
Passo 6
Como a gente tem uma função no denominador e um múltiplo da derivada dessa função no numerador, vamos usar a substituição simples
Aí aquela integral fica:
Substituindo nossos resultados:
Não esquecendo ali da constante, já que temos uma integral indefinida!