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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 7f

Calcule a integral por frações parciais:

∫   x 3   +   6 x 2   +   3 x   +   6 x 3 + 2 x 2 d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão tem como objetivo treinar técnicas de integração por partes. Temos que calcular a integral de ∫   x 3   +   6 x 2   +   3 x   +   6 x 3 + 2 x 2 d x

Vamos nessa!!!

Passo 2

Nosso objetivo é calcular ∫   x 3   +   6 x 2   +   3 x   +   6 x 3 + 2 x 2 d x . Como podemos começar essa integral? O que vocês acham?

Primeiro, vamos simplificar   x 3   +   6 x 2   +   3 x   +   6 x 3 + 2 x 2   usando divisão polinomial . Isto é,queremos escrever nossa fração na seguinte forma

x 3   +   6 x 2   +   3 x   +   6 x 3 + 2 x 2   =   q   +   r x 3 + 2 x 2

fazendo a divisão obtemos

  x 3   +   6 x 2   +   3 x   +   6 x 3 + 2 x 2 = 1   +   4 x 2 + 3 x + 6 x 3 + 2 x 2

= 1   +   4 x 2 + 3 x + 6 ( x + 2 ) x 2

E agora, o que podemos fazer para simplificar ainda mais? Podemos tentar separar o denominador da segunda fração. Como vamos fazer isso? Vamos tentar encontrar A , B   tais que

4 x 2 + 3 x + 6 x 2 ( x + 2 ) = A x 2 + B ( x + 2 )

Passo 3

Desenvolvendo a expressão do passo anterior temos:

4 x 2 + 3 x + 6 x 2 ( x + 2 ) = A ( x + 2 ) x 2 ( x + 2 ) + B x 2 x 2 ( x + 2 )

Abrindo o produto

4 x 2 + 3 x + 6 = A x + 2 A   +   B x 2  

Bem, aqui temos uma igualdade de polinômios em x isso quer dizer que os termos que têm x de um lado precisam ser iguais aos que tem x do outro lado da igualdade. Com isso temos:

A   =   3

B = 4

Usando os valores que calculamos de A   e   B ,

4 x 2 + 3 x + 6 x 2 ( x + 2 ) = 3 x 2 + 4 ( x + 2 )

Agora podemos calcular ∫   x 3   +   6 x 2   +   3 x   +   6 x 3 + 2 x 2 d x

Passo 4

Nos passos anteriores conseguimos mostrar que

x 3   +   6 x 2   +   3 x   +   6 x 3 + 2 x 2   =   1   + 3 x 2 + 4 ( x + 2 )  

Então

∫ x 3   +   6 x 2   +   3 x   +   6 x 3 + 2 x 2 d x   = ∫   1   + 3 x 2 + 4 ( x + 2 ) d x  

pela linearidade da integral

= ∫   1 d x   + ∫ 3 x 2 d x + ∫ 4 ( x + 2 ) d x

Agora temos três integrais mis simples. Resolvendo cada uma dessas obtemos

∫   1 d x =   x

∫ 3 x 2 d x = - 3 x - 1

∫ 4 ( x + 2 ) d x = 4 l n ( x + 2 )

Juntando nossas integrais temos:

∫ x 3   +   6 x 2   +   3 x   +   6 x 3 + 2 x 2 d x   = x   - 3 x - 1 + 4 l n ( x + 2 )

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Cálculo 1. Tivemos umas “simplificações” bem diferentes na resolução dessa questão. Quanto mais questões de integrais parciais vocês fizerem, mais vocês vão pegar o feeling de como devemos manipular as frações. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

x   - 3 x - 1 + 4 l n ( x + 2 )

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