2 - Usando a técnica do exercício anterior calcule:

a) ∫ s e n 6 x c o s x .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Essa questão não nos deu muito arrodeio. Foi dado uma função s e n 6 x c o s x e temos que integra-la usando o método do exercício anterior.

Mas que método é esse?? 🤔🤔

Este consiste em escrever a função como

s e n a c o s b = 1 / 2 s e n a + b + s e n a - b

Podemos fazer isso, por ser uma propriedade trigonométrica da multiplicação do s e n com o c o s .

Com isso, podemos afirmar que a integral

∫ s e n 6 x c o s x = ∫ 1 / 2 s e n a + b + s e n a - b

Sabemos que a integral da soma, é igual a soma das integrais, ou seja

∫ 1 / 2 s e n a + b + s e n a - b = ∫ 1 / 2 s e n a + b + ∫ 1 / 2 s e n a - b

Bora encontrar a e b e calcular essas integrais?

Passo 2

A propriedade diz

s e n a c o s b = 1 / 2 s e n a + b + s e n a - b

E a função que temos é

s e n 6 x c o s x

Comparando nossa função com s e n a c o s b , vemos que

s e n a c o s b = s e n 6 x c o s x

a = 6 x b = x

Substituindo a e b na propriedade, temos

s e n 6 x c o s x = 1 / 2 s e n 6 x + x + s e n 6 x - x

s e n 6 x c o s x = 1 / 2 s e n 7 x + s e n 5 x

s e n 6 x c o s x = 1 2 s e n 7 x + 1 2 s e n 5 x

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Por fim, vamos calcular a integral da soma que encontramos anteriormente.

Como vimos no passo 1

∫ s e n 6 x c o s x = ∫ 1 / 2 s e n a + b d x + ∫ 1 / 2 s e n a - b d x

Ou seja

∫ s e n 6 x c o s x = ∫ 1 2 s e n 7 x d x + ∫ 1 2 s e n 5 x d x

Podemos pôr a constante 1 / 2 pra fora das integrais, resultando em

∫ s e n 6 x c o s x = 1 2 ∫ s e n 7 x d x + 1 2 ∫ s e n 5 x d x

Primeiro vamos calcular a integral

∫ s e n 7 x d x

Nesse caso, vamos calcular a integral pelo método de substituição. Este método consiste em substituir o valor contido dentro de uma função como u , e substituir d x por d u . Veja como funciona na prática.

Vamos substituir u por 7 x , assim temos

u = 7 x , d u d x = d 7 x d x

d u d x = 7

Temos que isolar d x em um lado da igualdade

d u = 7 d x

d x = d u 7

Substituindo 7 x por u e d x por d u / 7 na integral, temos

∫ s e n 7 x d x = ∫ s e n u d u 7

1 7 ∫ s e n u d u = - 1 7 cos ⁡ u

Substituindo u por 7 x de volta, temos

∫ s e n 7 x d x = - 1 7 co s ⁡ 7 x

Entendeu?

Passo 4

Vamos calcular a outra integral pelo mesmo método

∫ s e n 5 x d x

Onde u = 5 x

d u d x = d 5 x d x

d u d x = 5

Isolando d x em um lado da igualdade, temos

d u = 5 d x

d x = d u 5

Substituindo 5 x por u e d x por d u / 5 na integral, temos

∫ s e n 5 x d x = ∫ s e n u d u 5  

1 5 ∫ s e n u d u   = - 1 5 cos ⁡ u

Substituímos u por 5 x de volta para o resultado.

∫ s e n 5 x d x = - 1 5 cos ⁡ 5 x

Tranquilo, não é?

Passo 5

Por fim, substituímos os resultados que encontramos na integral lá do início.

∫ s e n 6 x c o s x = 1 2 ∫ s e n 7 x d x + 1 2 ∫ s e n 5 x d x

∫ s e n 6 x c o s x = 1 2 - 1 7 cos ⁡ 7 x + 1 2 - 1 5 cos ⁡ 5 x

Simplificando um pouquinho mais, temos

∫ s e n 6 x c o s x = - 1 14 cos ⁡ 7 x - 1 10 cos ⁡ 5 x + C

Lembre-se da nossa receitinha quando temos que usar o método de substituição u . d u

1°: substituímos a função que está contida dentro da outra função por u .

2°: calculamos d u d x = d u d x e isolamos d x de um lado da igualdade.

3°: substituímos u e d u , calculamos a integral.

4°: depois da integral calculada, substituímos u pela função inicial.

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ s e n 6 x c o s x = - 1 14 cos ⁡ 7 x - 1 10 cos ⁡ 5 x + C

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