UFABC. Cálculo. Funções de Uma Variável. Lista 10 – Técnicas de Integração II. 2018.3. Questão 2a.
2 - Usando a técnica do exercício anterior calcule:
a) .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Essa questão não nos deu muito arrodeio. Foi dado uma função e temos que integra-la usando o método do exercício anterior.
Mas que método é esse?? 🤔🤔
Este consiste em escrever a função como
Podemos fazer isso, por ser uma propriedade trigonométrica da multiplicação do com o .
Com isso, podemos afirmar que a integral
Sabemos que a integral da soma, é igual a soma das integrais, ou seja
Bora encontrar e e calcular essas integrais?
Passo 2
A propriedade diz
E a função que temos é
Comparando nossa função com , vemos que
Substituindo e na propriedade, temos
Tudo bem até aqui?
Passo 3
Por fim, vamos calcular a integral da soma que encontramos anteriormente.
Como vimos no passo 1
Ou seja
Podemos pôr a constante pra fora das integrais, resultando em
Primeiro vamos calcular a integral
Nesse caso, vamos calcular a integral pelo método de substituição. Este método consiste em substituir o valor contido dentro de uma função como , e substituir por . Veja como funciona na prática.
Vamos substituir por , assim temos
Temos que isolar em um lado da igualdade
Substituindo por e por na integral, temos
Substituindo por de volta, temos
Entendeu?
Passo 4
Vamos calcular a outra integral pelo mesmo método
Onde
Isolando em um lado da igualdade, temos
Substituindo por e por na integral, temos
Substituímos por de volta para o resultado.
Tranquilo, não é?
Passo 5
Por fim, substituímos os resultados que encontramos na integral lá do início.
Simplificando um pouquinho mais, temos
Lembre-se da nossa receitinha quando temos que usar o método de substituição
1°: substituímos a função que está contida dentro da outra função por .
2°: calculamos e isolamos de um lado da igualdade.
3°: substituímos e , calculamos a integral.
4°: depois da integral calculada, substituímos pela função inicial.
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
