Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Ver Teoria
Exercício 111234567891012131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Integração por Frações Parciais

Calcule a integral

∫ - π 4 π 6 sec 2 ⁡ x tg ⁡ x - 2 tg ⁡ x - 1 2 d x

Passo 1

Olha que temos essas secantes aí em cima. Elas são exatamente a derivada da tangente. Se nós fizermos uma substituição chamando essa tangente de outra variável simplificamos muito nossa equação:

tg ⁡ ( x ) = y   ; d y = sec 2 ⁡ ( x ) d x

y s u p e r i o r = tg ⁡ π 6 = 3 3   ; y i n f e r i o r = tg ⁡ - π 4 = - 1

∫ - π 3 π 6 sec 2 ⁡ x tg ⁡ x - 2 tg ⁡ x - 1 2 d x = ∫ - 1 3 3 d y y - 2 y - 1 2

Agora eu fiquei com um negócio com produto de funções de primeiro grau no denominador. Toda cara de frações parciais, né? Vamos abrir essa função dessa forma então:

1 y - 1 y - 2 2 = A y - 2 + B y - 1 + C y - 1 2

1 y - 1 y - 2 2 = A y - 1 y - 1 + B y - 1 y - 2 + C ( y - 2 ) ( y - 2 ) y - 1 2

1 y - 1 y - 2 2 = A ( y 2 - 2 x + 1 ) + B ( y 2 - 3 y + 2 ) + C ( y - 2 ) ( y - 2 ) y - 1 2

1 y - 1 y - 2 2 = y 2 A + B + y - 2 A - 3 B + C + ( A + 2 B - 2 C ) ( y - 2 ) y - 1 2

A + B = 0 - 2 A - 3 B + C = 0 A + 2 B - 2 C = 1

B = - 1   ; A = 1   ; C = - 1

1 y - 2 y - 1 2 = 1 y - 2 + - 1 y - 1 + - 1 y - 1 2

Voltamos para a integral:

∫ - 1 3 3 d y y - 2 y - 1 2 = ∫ - 1 3 3 1 y - 2 + - 1 y - 1 - 1 y - 1 2 d y

∫ - 1 3 3 1 y - 2 + - 1 y - 1 - y - 1 - 2 d y

= ln ⁡ | y - 2 | - ln ⁡ y - 1 + 1 y - 1 [ 3 / 3 - 1

ln ⁡ 3 3 - 2 - ln ⁡ 3 3 - 1 + 1 3 3 - 1 - ln ⁡ - 1 - 2 - ln ⁡ - 1 - 1 + 1 - 1 - 1

= ln ⁡ 2 - 3 3 - ln ⁡ 1 - 3 3 + 1 3 3 - 1 - ln ⁡ 3 + ln ⁡ 2 + 1 2

Sim, o resultado é essa coisa gigante horrível.

Resposta

∫ - π 4 π 6 sec 2 ⁡ x tg ⁡ x - 2 tg ⁡ x - 1 2 d x = ln ⁡ 2 - 3 3 - ln ⁡ 1 - 3 3 + 1 3 3 - 1 - ln ⁡ 3 + ln ⁡ 2 + 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais ∫ 8 x 2 + 8 x + 2 4 x 2 + 1 2d x
Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais ∫ y 2 + 2 y + 1 y 2 + 1 2d y
Calcule.int (4)/(x^3 - x^2 - 2 x) d x
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral. ∫ s e n ( x ) cos 2 ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x
Calcule a integralint (1)/((x - 2) (x^2 + 4)) d x